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320
•
31 dic 2025
•
Estefana Arceo
@estefanaarceo
¡Hora de dominar la geometría analítica! Estos apuntes cubren todo... Mostrar más
¿Alguna vez te has preguntado cómo conectar dos puntos con matemáticas? La fórmula punto-pendiente es tu mejor amiga: y-y₁ = /.
El ejemplo muestra un triángulo con vértices A(-3,-5), B(4,-3) y C(7,4). Para sacar la ecuación del lado AB, sustituyes las coordenadas en la fórmula y simplificas paso a paso.
Al final llegas a la forma general: 2x-7y-29=0. Este proceso te va a salvar en muchos exámenes, así que practícalo hasta que lo hagas con los ojos cerrados.
¡Tip! Siempre verifica tus cálculos sustituyendo uno de los puntos originales en tu ecuación final.
Ahora vamos con los otros dos lados del triángulo. Para BC usas los puntos B(4,-3) y C(7,4), siguiendo exactamente el mismo proceso que antes.
La ecuación de BC queda: 7x-3y-37=0. Para el lado CA, conectas C(7,4) con A(-3,-5) y obtienes 9x-10y=-23.
¿Ves el patrón? Mismo método, diferentes números. Una vez que domines la técnica, puedes resolver cualquier problema de este tipo en menos de 5 minutos.
¡Recuerda! Mantén organizadas tus coordenadas (x₁,y₁) y (x₂,y₂) para evitar errores tontos.
Las circunferencias tienen dos formas principales. La ecuación ordinaria ²+² = r² te muestra directamente el centro (h,k) y el radio r.
En el ejemplo ²+² = 9, el centro es (-5,-10) y el radio es 3. Para convertir a forma general, expandes usando productos notables: ² = a²+2ab+b².
Después de expandir y reorganizar, obtienes la forma general: x²+y²+10x+20y+116=0. Para regresar de general a ordinaria, usas las fórmulas del centro y radio.
¡Dato curioso! El radio siempre es positivo, así que si te sale negativo, revisa tus cálculos.
La forma simétrica x/a + y/b = 1 es genial porque te muestra inmediatamente dónde la recta cruza los ejes. El punto (a,0) es donde cruza el eje x, y (0,b) donde cruza el eje y.
Con los puntos A(3,0) y B(0,-2), sustituyes y obtienes x/3 - y/2 = 1. Multiplicando por 6 para quitar denominadores: 2x-3y-6=0.
También puedes ir de forma general a simétrica dividiendo toda la ecuación entre el término independiente. Es como tener un traductor matemático entre diferentes "idiomas" de la misma recta.
¡Pro tip! Si una recta pasa por el origen, no tiene forma simétrica porque no corta los ejes en puntos distintos de (0,0).
La fórmula de distancia d = √ viene del teorema de Pitágoras. Es básicamente calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo invisible.
El ejemplo muestra cómo encontrar el punto medio entre A(7,2) y B(-5,10): xₘ = (7-5)/2 = 1, yₘ = (2+10)/2 = 6. Entonces el punto medio es (1,6).
Luego calculas la distancia de este punto medio a cualquier vértice original para obtener el radio de una circunferencia que pasa por ambos puntos.
¡Importante! El punto medio siempre está exactamente a la mitad del camino entre dos puntos.
Una vez que tienes el radio (7.2 en este caso), calcular el área es pan comido: A = πr² = π(7.2)² ≈ 162.86 unidades cuadradas.
El perímetro (o circunferencia) es 2πr = π(14.4) ≈ 45.23 unidades. Son fórmulas que ya conoces desde secundaria, pero ahora las usas en contextos más avanzados.
Para la ecuación, partes de la forma ordinaria ²+²=(7.2)² y la expandes para llegar a la forma general: x²+y²-2x-12y-15=0.
¡Recuerda! Siempre redondea tus respuestas finales a un número razonable de decimales.
El punto medio es súper fácil de calcular: solo promedias las coordenadas x y las coordenadas y por separado. xₘ = /2 y yₘ = /2.
Con los puntos (7,2) y (-5,10): xₘ = (7-5)/2 = 1 y yₘ = (2+10)/2 = 6. El punto medio es (1,6).
Este concepto aparece en muchísimos problemas de geometría analítica, desde encontrar centros de circunferencias hasta resolver problemas de optimización.
¡Tip rápido! El punto medio es como el "centro de masa" geométrico entre dos puntos.
Cuando necesitas dividir un segmento en una razón específica (no necesariamente por la mitad), usas: x = x₁+r y y = y₁+r.
En el ejemplo con A(-5,2), B(7,-6) y razón r = 3/4, obtienes el punto (4,-4). Esto significa que este punto está 3/4 del camino de A hacia B.
Es como si caminaras de A hacia B y te detuvieras cuando hayas recorrido exactamente 3/4 de la distancia total. Súper útil en problemas de ingeniería y física.
¡Nota! Si r = 1/2, obtienes el punto medio. Si r = 1, llegas al segundo punto.
La pendiente m = / te dice qué tan "empinada" es una recta. También puedes calcularla con m = tan θ, donde θ es el ángulo que forma con el eje x.
En el ejemplo con A(6,2) y B(8,4), la pendiente es m = (4-2)/(8-6) = 1. Si tienes el ángulo (como 45°), entonces m = tan 45° = 1.
Para ir del otro lado, si conoces la pendiente y quieres el ángulo: θ = tan⁻¹(m). Con m = 1, obtienes θ = 45°.
¡Dato útil! Una pendiente positiva sube hacia la derecha, negativa baja hacia la derecha.
Para encontrar el ángulo entre dos rectas, usas: tan θ = |m₂-m₁|/. Es especialmente útil para calcular ángulos interiores de triángulos.
El ejemplo muestra un triángulo con vértices A(-7,3), B(7,7), C(6,-2). Primero calculas las pendientes de cada lado: m_{AB} = 2/7, m_{BC} = 9, m_{AC} = -5/13.
Luego aplicas la fórmula para cada ángulo interior. El ángulo en A resulta ser 62.10° y el ángulo en B es 57.09°. El tercer ángulo lo puedes calcular igual o usar que la suma debe ser 180°.
¡Importante! Los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman 180°.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Marco B
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Estefana Arceo
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¡Hora de dominar la geometría analítica! Estos apuntes cubren todo lo que necesitas saber sobre ecuaciones de rectas, circunferencias y cálculos de distancia. Son conceptos súper útiles que aparecen constantemente en exámenes.
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¿Alguna vez te has preguntado cómo conectar dos puntos con matemáticas? La fórmula punto-pendiente es tu mejor amiga: y-y₁ = /.
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Al final llegas a la forma general: 2x-7y-29=0. Este proceso te va a salvar en muchos exámenes, así que practícalo hasta que lo hagas con los ojos cerrados.
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La ecuación de BC queda: 7x-3y-37=0. Para el lado CA, conectas C(7,4) con A(-3,-5) y obtienes 9x-10y=-23.
¿Ves el patrón? Mismo método, diferentes números. Una vez que domines la técnica, puedes resolver cualquier problema de este tipo en menos de 5 minutos.
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En el ejemplo ²+² = 9, el centro es (-5,-10) y el radio es 3. Para convertir a forma general, expandes usando productos notables: ² = a²+2ab+b².
Después de expandir y reorganizar, obtienes la forma general: x²+y²+10x+20y+116=0. Para regresar de general a ordinaria, usas las fórmulas del centro y radio.
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Con los puntos A(3,0) y B(0,-2), sustituyes y obtienes x/3 - y/2 = 1. Multiplicando por 6 para quitar denominadores: 2x-3y-6=0.
También puedes ir de forma general a simétrica dividiendo toda la ecuación entre el término independiente. Es como tener un traductor matemático entre diferentes "idiomas" de la misma recta.
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El ejemplo muestra cómo encontrar el punto medio entre A(7,2) y B(-5,10): xₘ = (7-5)/2 = 1, yₘ = (2+10)/2 = 6. Entonces el punto medio es (1,6).
Luego calculas la distancia de este punto medio a cualquier vértice original para obtener el radio de una circunferencia que pasa por ambos puntos.
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El perímetro (o circunferencia) es 2πr = π(14.4) ≈ 45.23 unidades. Son fórmulas que ya conoces desde secundaria, pero ahora las usas en contextos más avanzados.
Para la ecuación, partes de la forma ordinaria ²+²=(7.2)² y la expandes para llegar a la forma general: x²+y²-2x-12y-15=0.
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Es como si caminaras de A hacia B y te detuvieras cuando hayas recorrido exactamente 3/4 de la distancia total. Súper útil en problemas de ingeniería y física.
¡Nota! Si r = 1/2, obtienes el punto medio. Si r = 1, llegas al segundo punto.
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En el ejemplo con A(6,2) y B(8,4), la pendiente es m = (4-2)/(8-6) = 1. Si tienes el ángulo (como 45°), entonces m = tan 45° = 1.
Para ir del otro lado, si conoces la pendiente y quieres el ángulo: θ = tan⁻¹(m). Con m = 1, obtienes θ = 45°.
¡Dato útil! Una pendiente positiva sube hacia la derecha, negativa baja hacia la derecha.
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Para encontrar el ángulo entre dos rectas, usas: tan θ = |m₂-m₁|/. Es especialmente útil para calcular ángulos interiores de triángulos.
El ejemplo muestra un triángulo con vértices A(-7,3), B(7,7), C(6,-2). Primero calculas las pendientes de cada lado: m_{AB} = 2/7, m_{BC} = 9, m_{AC} = -5/13.
Luego aplicas la fórmula para cada ángulo interior. El ángulo en A resulta ser 62.10° y el ángulo en B es 57.09°. El tercer ángulo lo puedes calcular igual o usar que la suma debe ser 180°.
¡Importante! Los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman 180°.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
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Elena
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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Marco B
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