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Conceptos Clave de Geometría Analítica

Estefana Arceo@estefanaarceo

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¡Hora de dominar la geometría analítica! Estos apuntes cubren todo...

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Ecuación de la recta con dos puntos

¿Alguna vez te has preguntado cómo conectar dos puntos con matemáticas? La fórmula punto-pendiente es tu mejor amiga: y-y₁ = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$$x-x₁$ .

El ejemplo muestra un triángulo con vértices A $-3,-5$ , B $4,-3$ y C(7,4). Para sacar la ecuación del lado AB, sustituyes las coordenadas en la fórmula y simplificas paso a paso.

Al final llegas a la forma general: 2x-7y-29=0. Este proceso te va a salvar en muchos exámenes, así que practícalo hasta que lo hagas con los ojos cerrados.

¡Tip! Siempre verifica tus cálculos sustituyendo uno de los puntos originales en tu ecuación final.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Continuación: Lados BC y CA

Ahora vamos con los otros dos lados del triángulo. Para BC usas los puntos B $4,-3$ y C(7,4), siguiendo exactamente el mismo proceso que antes.

La ecuación de BC queda: 7x-3y-37=0. Para el lado CA, conectas C(7,4) con A $-3,-5$ y obtienes 9x-10y=-23.

¿Ves el patrón? Mismo método, diferentes números. Una vez que domines la técnica, puedes resolver cualquier problema de este tipo en menos de 5 minutos.

¡Recuerda! Mantén organizadas tus coordenadas (x₁,y₁) y (x₂,y₂) para evitar errores tontos.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Ecuación de la circunferencia: de ordinaria a general

Las circunferencias tienen dos formas principales. La ecuación ordinaria $x-h$ ²+ $y-k$ ² = r² te muestra directamente el centro (h,k) y el radio r.

En el ejemplo $x+5$ ²+ $y+10$ ² = 9, el centro es $-5,-10$ y el radio es 3. Para convertir a forma general, expandes usando productos notables: $a+b$ ² = a²+2ab+b².

Después de expandir y reorganizar, obtienes la forma general: x²+y²+10x+20y+116=0. Para regresar de general a ordinaria, usas las fórmulas del centro y radio.

¡Dato curioso! El radio siempre es positivo, así que si te sale negativo, revisa tus cálculos.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Forma simétrica de la recta

La forma simétrica x/a + y/b = 1 es genial porque te muestra inmediatamente dónde la recta cruza los ejes. El punto (a,0) es donde cruza el eje x, y (0,b) donde cruza el eje y.

Con los puntos A(3,0) y B $0,-2$ , sustituyes y obtienes x/3 - y/2 = 1. Multiplicando por 6 para quitar denominadores: 2x-3y-6=0.

También puedes ir de forma general a simétrica dividiendo toda la ecuación entre el término independiente. Es como tener un traductor matemático entre diferentes "idiomas" de la misma recta.

¡Pro tip! Si una recta pasa por el origen, no tiene forma simétrica porque no corta los ejes en puntos distintos de (0,0).

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Distancia entre puntos y aplicaciones

La fórmula de distancia d = √ $(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²$ viene del teorema de Pitágoras. Es básicamente calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo invisible.

El ejemplo muestra cómo encontrar el punto medio entre A(7,2) y B $-5,10$ : xₘ = $7-5$ /2 = 1, yₘ = $2+10$ /2 = 6. Entonces el punto medio es (1,6).

Luego calculas la distancia de este punto medio a cualquier vértice original para obtener el radio de una circunferencia que pasa por ambos puntos.

¡Importante! El punto medio siempre está exactamente a la mitad del camino entre dos puntos.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Área y perímetro del círculo

Una vez que tienes el radio (7.2 en este caso), calcular el área es pan comido: A = πr² = π(7.2)² ≈ 162.86 unidades cuadradas.

El perímetro (o circunferencia) es 2πr = π(14.4) ≈ 45.23 unidades. Son fórmulas que ya conoces desde secundaria, pero ahora las usas en contextos más avanzados.

Para la ecuación, partes de la forma ordinaria $x-1$ ²+ $y-6$ ²=(7.2)² y la expandes para llegar a la forma general: x²+y²-2x-12y-15=0.

¡Recuerda! Siempre redondea tus respuestas finales a un número razonable de decimales.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Punto medio - método directo

El punto medio es súper fácil de calcular: solo promedias las coordenadas x y las coordenadas y por separado. xₘ = $x₁+x₂$ /2 y yₘ = $y₁+y₂$ /2.

Con los puntos (7,2) y $-5,10$ : xₘ = $7-5$ /2 = 1 y yₘ = $2+10$ /2 = 6. El punto medio es (1,6).

Este concepto aparece en muchísimos problemas de geometría analítica, desde encontrar centros de circunferencias hasta resolver problemas de optimización.

¡Tip rápido! El punto medio es como el "centro de masa" geométrico entre dos puntos.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

División de segmentos en razón dada

Cuando necesitas dividir un segmento en una razón específica (no necesariamente por la mitad), usas: x = x₁+r $x₂-x₁$ y y = y₁+r $y₂-y₁$ .

En el ejemplo con A $-5,2$ , B $7,-6$ y razón r = 3/4, obtienes el punto $4,-4$ . Esto significa que este punto está 3/4 del camino de A hacia B.

Es como si caminaras de A hacia B y te detuvieras cuando hayas recorrido exactamente 3/4 de la distancia total. Súper útil en problemas de ingeniería y física.

¡Nota! Si r = 1/2, obtienes el punto medio. Si r = 1, llegas al segundo punto.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Pendiente y ángulos

La pendiente m = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ te dice qué tan "empinada" es una recta. También puedes calcularla con m = tan θ, donde θ es el ángulo que forma con el eje x.

En el ejemplo con A(6,2) y B(8,4), la pendiente es m = $4-2$ / $8-6$ = 1. Si tienes el ángulo (como 45°), entonces m = tan 45° = 1.

Para ir del otro lado, si conoces la pendiente y quieres el ángulo: θ = tan⁻¹ $m$ . Con m = 1, obtienes θ = 45°.

¡Dato útil! Una pendiente positiva sube hacia la derecha, negativa baja hacia la derecha.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Ángulo entre dos rectas

Para encontrar el ángulo entre dos rectas, usas: tan θ = |m₂-m₁|/ $1+m₁m₂$ . Es especialmente útil para calcular ángulos interiores de triángulos.

El ejemplo muestra un triángulo con vértices A $-7,3$ , B(7,7), C $6,-2$ . Primero calculas las pendientes de cada lado: m_{AB} = 2/7, m_{BC} = 9, m_{AC} = -5/13.

Luego aplicas la fórmula para cada ángulo interior. El ángulo en A resulta ser 62.10° y el ángulo en B es 57.09°. El tercer ángulo lo puedes calcular igual o usar que la suma debe ser 180°.

¡Importante! Los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman 180°.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

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4.6/5App Store

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablousuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Anausuaria de iOS

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Conceptos Clave de Geometría Analítica

Estefana Arceo@estefanaarceo

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¡Hora de dominar la geometría analítica! Estos apuntes cubren todo lo que necesitas saber sobre ecuaciones de rectas, circunferencias y cálculos de distancia. Son conceptos súper útiles que aparecen constantemente en exámenes.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Ecuación de la recta con dos puntos

¿Alguna vez te has preguntado cómo conectar dos puntos con matemáticas? La fórmula punto-pendiente es tu mejor amiga: y-y₁ = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$$x-x₁$ .

El ejemplo muestra un triángulo con vértices A $-3,-5$ , B $4,-3$ y C(7,4). Para sacar la ecuación del lado AB, sustituyes las coordenadas en la fórmula y simplificas paso a paso.

Al final llegas a la forma general: 2x-7y-29=0. Este proceso te va a salvar en muchos exámenes, así que practícalo hasta que lo hagas con los ojos cerrados.

¡Tip! Siempre verifica tus cálculos sustituyendo uno de los puntos originales en tu ecuación final.

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Continuación: Lados BC y CA

Ahora vamos con los otros dos lados del triángulo. Para BC usas los puntos B $4,-3$ y C(7,4), siguiendo exactamente el mismo proceso que antes.

La ecuación de BC queda: 7x-3y-37=0. Para el lado CA, conectas C(7,4) con A $-3,-5$ y obtienes 9x-10y=-23.

¿Ves el patrón? Mismo método, diferentes números. Una vez que domines la técnica, puedes resolver cualquier problema de este tipo en menos de 5 minutos.

¡Recuerda! Mantén organizadas tus coordenadas (x₁,y₁) y (x₂,y₂) para evitar errores tontos.

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Ecuación de la circunferencia: de ordinaria a general

Las circunferencias tienen dos formas principales. La ecuación ordinaria $x-h$ ²+ $y-k$ ² = r² te muestra directamente el centro (h,k) y el radio r.

En el ejemplo $x+5$ ²+ $y+10$ ² = 9, el centro es $-5,-10$ y el radio es 3. Para convertir a forma general, expandes usando productos notables: $a+b$ ² = a²+2ab+b².

Después de expandir y reorganizar, obtienes la forma general: x²+y²+10x+20y+116=0. Para regresar de general a ordinaria, usas las fórmulas del centro y radio.

¡Dato curioso! El radio siempre es positivo, así que si te sale negativo, revisa tus cálculos.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Forma simétrica de la recta

La forma simétrica x/a + y/b = 1 es genial porque te muestra inmediatamente dónde la recta cruza los ejes. El punto (a,0) es donde cruza el eje x, y (0,b) donde cruza el eje y.

Con los puntos A(3,0) y B $0,-2$ , sustituyes y obtienes x/3 - y/2 = 1. Multiplicando por 6 para quitar denominadores: 2x-3y-6=0.

También puedes ir de forma general a simétrica dividiendo toda la ecuación entre el término independiente. Es como tener un traductor matemático entre diferentes "idiomas" de la misma recta.

¡Pro tip! Si una recta pasa por el origen, no tiene forma simétrica porque no corta los ejes en puntos distintos de (0,0).

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Distancia entre puntos y aplicaciones

La fórmula de distancia d = √ $(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²$ viene del teorema de Pitágoras. Es básicamente calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo invisible.

El ejemplo muestra cómo encontrar el punto medio entre A(7,2) y B $-5,10$ : xₘ = $7-5$ /2 = 1, yₘ = $2+10$ /2 = 6. Entonces el punto medio es (1,6).

Luego calculas la distancia de este punto medio a cualquier vértice original para obtener el radio de una circunferencia que pasa por ambos puntos.

¡Importante! El punto medio siempre está exactamente a la mitad del camino entre dos puntos.

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Área y perímetro del círculo

Una vez que tienes el radio (7.2 en este caso), calcular el área es pan comido: A = πr² = π(7.2)² ≈ 162.86 unidades cuadradas.

El perímetro (o circunferencia) es 2πr = π(14.4) ≈ 45.23 unidades. Son fórmulas que ya conoces desde secundaria, pero ahora las usas en contextos más avanzados.

Para la ecuación, partes de la forma ordinaria $x-1$ ²+ $y-6$ ²=(7.2)² y la expandes para llegar a la forma general: x²+y²-2x-12y-15=0.

¡Recuerda! Siempre redondea tus respuestas finales a un número razonable de decimales.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Punto medio - método directo

El punto medio es súper fácil de calcular: solo promedias las coordenadas x y las coordenadas y por separado. xₘ = $x₁+x₂$ /2 y yₘ = $y₁+y₂$ /2.

Con los puntos (7,2) y $-5,10$ : xₘ = $7-5$ /2 = 1 y yₘ = $2+10$ /2 = 6. El punto medio es (1,6).

Este concepto aparece en muchísimos problemas de geometría analítica, desde encontrar centros de circunferencias hasta resolver problemas de optimización.

¡Tip rápido! El punto medio es como el "centro de masa" geométrico entre dos puntos.

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División de segmentos en razón dada

Cuando necesitas dividir un segmento en una razón específica (no necesariamente por la mitad), usas: x = x₁+r $x₂-x₁$ y y = y₁+r $y₂-y₁$ .

En el ejemplo con A $-5,2$ , B $7,-6$ y razón r = 3/4, obtienes el punto $4,-4$ . Esto significa que este punto está 3/4 del camino de A hacia B.

Es como si caminaras de A hacia B y te detuvieras cuando hayas recorrido exactamente 3/4 de la distancia total. Súper útil en problemas de ingeniería y física.

¡Nota! Si r = 1/2, obtienes el punto medio. Si r = 1, llegas al segundo punto.

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$Ecuación de la recta conocidos 2 puntos y-y1= \frac{y2-y1}{x2-x1}(x-x1) Ejemplo: Los vertices de un triangulo estan en los puntos P A (-3,-5$

Pendiente y ángulos

La pendiente m = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ te dice qué tan "empinada" es una recta. También puedes calcularla con m = tan θ, donde θ es el ángulo que forma con el eje x.

En el ejemplo con A(6,2) y B(8,4), la pendiente es m = $4-2$ / $8-6$ = 1. Si tienes el ángulo (como 45°), entonces m = tan 45° = 1.

Para ir del otro lado, si conoces la pendiente y quieres el ángulo: θ = tan⁻¹ $m$ . Con m = 1, obtienes θ = 45°.

¡Dato útil! Una pendiente positiva sube hacia la derecha, negativa baja hacia la derecha.

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Ángulo entre dos rectas

Para encontrar el ángulo entre dos rectas, usas: tan θ = |m₂-m₁|/ $1+m₁m₂$ . Es especialmente útil para calcular ángulos interiores de triángulos.

El ejemplo muestra un triángulo con vértices A $-7,3$ , B(7,7), C $6,-2$ . Primero calculas las pendientes de cada lado: m_{AB} = 2/7, m_{BC} = 9, m_{AC} = -5/13.

Luego aplicas la fórmula para cada ángulo interior. El ángulo en A resulta ser 62.10° y el ángulo en B es 57.09°. El tercer ángulo lo puedes calcular igual o usar que la suma debe ser 180°.