Función Racional: Dominio, Rango y Asíntotas

¿Te has preguntado qué pasa cuando una función tiene una división? Las funciones racionales como $f(x)=\frac{x-5}{x-7}$ son exactamente eso: una fracción con polinomios.

Para encontrar el dominio, buscamos los valores que hacen que el denominador sea cero. En este caso, $x-7=0$, entonces $x=7$. Por eso el dominio es $\mathbb{R}-\{7\}$ (todos los números reales excepto el 7).

El rango lo encontramos calculando la función inversa. Aquí resulta ser $\mathbb{R}-\{1\}$, lo que significa que la función nunca puede valer 1.

💡 Tip clave: Las asíntotas son como límites invisibles que la función nunca puede cruzar. La asíntota vertical está en $x=7$ (donde el denominador es cero) y la asíntota horizontal en $y=1$ (el valor que nunca alcanza el rango).

Para encontrar la función inversa, intercambiamos $x$ e $y$, despejamos la nueva $y$, y obtenemos $f^{-1}(x)=\frac{7x-5}{x-1}$. ¡Nota cómo el dominio de la inversa excluye el 1!