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2 dic 2025

•

10 páginas

Fórmulas de Álgebra y Geometría

Megan Ayala

@meganayala

¿Te sientes abrumado por tantas fórmulas matemáticas dispersas? Esta guía... Mostrar más

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$--- OCR Start --- PAGINAS DE REFERENCIA PINAL 06/04/2009 22:01 Page ÁLGEBRA OPERACIONES ARITMÉTICAS $a(b+c)=ab+ac$ $\frac{a+c}{b}=\frac{a}{b$

Álgebra y Geometría Esencial

¿Sabías que el álgebra es la base de casi toda la matemática avanzada? Estas operaciones aritméticas básicas te van a salvar en cientos de problemas diferentes.

Las operaciones con exponentes y radicales siguen reglas específicas que nunca cambian. Por ejemplo, cuando multiplicas potencias con la misma base, sumas los exponentes: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ . Y recuerda que un exponente negativo significa "uno entre": $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ .

La factorización especial te permite descomponer expresiones complicadas en partes más simples. La diferencia de cuadrados $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ aparece constantemente en ecuaciones cuadráticas.

En geometría, las fórmulas de área y volumen son herramientas prácticas. El área de un triángulo es $A = \frac{1}{2}bh$ , mientras que el volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Para encontrar la distancia entre dos puntos, usa $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ .

Tip clave: La fórmula cuadrática $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ resuelve cualquier ecuación de segundo grado. ¡Memorízala!

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Trigonometría: Ángulos y Funciones

La trigonometría conecta ángulos con razones, y es más útil de lo que imaginas. Desde arquitectura hasta videojuegos, estas funciones están en todas partes.

La conversión entre grados y radianes es fundamental: $\pi$ radianes = $180°$ . Las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) se definen usando un triángulo rectángulo o el círculo unitario. En un triángulo: $\sen \theta = \frac{opuesto}{hipotenusa}$ , $\cos \theta = \frac{adyacente}{hipotenusa}$ .

Debes memorizar los ángulos importantes: 30°, 45°, 60° y 90°. Por ejemplo, $\sen 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Estos valores aparecen constantemente en exámenes.

Las identidades fundamentales son relaciones que siempre se cumplen. La más importante: $\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ . También tienes las leyes de senos y cosenos para resolver triángulos que no son rectángulos.

Dato curioso: Las fórmulas de suma como $\sen(x + y) = \sen x \cos y + \cos x \sen y$ te permiten calcular el seno o coseno de cualquier ángulo.

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Funciones Especiales e Inversas

Las funciones de potencias como $f(x) = x^n$ tienen comportamientos muy específicos según el valor de n. Si n es par, la función es simétrica respecto al eje y. Si n es impar, es simétrica respecto al origen.

Las funciones trigonométricas inversas te permiten encontrar ángulos cuando conoces las razones. $\arcsen x$ te da el ángulo cuyo seno es x, pero solo en el rango $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ . Esto es crucial para evitar respuestas ambiguas.

La función $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$ es especial porque tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal en y = 0. Nunca toca estos ejes, pero se acerca infinitamente.

Para $\arctan x$ , los límites son importantes: cuando x tiende a infinito, $\arctan x$ se acerca a $\frac{\pi}{2}$ , y cuando tiende a menos infinito, se acerca a $-\frac{\pi}{2}$ .

Consejo práctico: Las funciones inversas "deshacen" lo que hace la función original. Si $\sen 30° = \frac{1}{2}$ , entonces $\arcsen \frac{1}{2} = 30°$ .

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Integrales Básicas y Trigonométricas

El cálculo integral puede parecer intimidante, pero las fórmulas básicas siguen patrones lógicos que puedes dominar fácilmente.

Las integrales básicas incluyen la regla de potencias: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ $cuando n ≠ -1$ . Para n = -1, usas $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$ . La integral de $e^u$ es simplemente $e^u + C$ .

Las integrales trigonométricas tienen resultados que debes memorizar. $\int \sen u , du = -\cos u + C$ y $\int \cos u , du = \sen u + C$ . Nota el signo negativo en la primera.

Las formas que involucran raíces cuadradas como $\sqrt{a^2 + u^2}$ aparecen frecuentemente en física y ingeniería. Por ejemplo, $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsen \frac{u}{a} + C$ .

Truco de estudio: Estas fórmulas de integrales son como recetas de cocina. Una vez que reconoces el patrón, aplicar la fórmula correcta se vuelve automático.

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Integrales con Raíces Cuadradas

Las integrales con expresiones del tipo $\sqrt{a^2 - u^2}$ y $\sqrt{u^2 - a^2}$ aparecen constantemente en problemas de física, especialmente en movimiento circular y ondas.

Para $\sqrt{a^2 - u^2}$ , la integral básica $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsen \frac{u}{a} + C$ conecta directamente con las funciones trigonométricas inversas. Esto no es coincidencia: proviene de la identidad $\sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ .

Las integrales más complejas como $\int \sqrt{a^2 - u^2} , du$ dan resultados que combinan funciones algebraicas y trigonométricas inversas. El resultado incluye tanto $u\sqrt{a^2 - u^2}$ como $\arcsen \frac{u}{a}$ .

Para $\sqrt{u^2 - a^2}$ , las fórmulas son similares pero usan logaritmos naturales en lugar de funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo: $\int \sqrt{u^2 - a^2} , du$ involucra $\ln|u + \sqrt{u^2 - a^2}|$ .

Conexión importante: Estas integrales están relacionadas con la geometría de círculos e hipérbolas. ¡Las matemáticas están más conectadas de lo que parece!

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Integrales con Expresiones Lineales

Las formas que involucran $a + bu$ son súper comunes en problemas de aplicación, desde economía hasta física. Estas expresiones lineales aparecen cuando tienes tasas de cambio constantes.

La integral básica $\int \frac{u , du}{a + bu}$ se resuelve usando el resultado $\frac{1}{b^2}(a + bu - a \ln|a + bu|) + C$ . Parece complicado, pero sigue un patrón: separas la parte algebraica de la logarítmica.

Las integrales con raíces cuadradas como $\int u\sqrt{a + bu} , du$ dan resultados que involucran potencias fraccionarias: $(a + bu)^{3/2}$ . Esto refleja cómo las raíces cuadradas se comportan bajo integración.

Los casos especiales dependen del signo de $a$ . Si $a > 0$ , obtienes logaritmos naturales. Si $a < 0$ , aparecen funciones trigonométricas inversas como $\arctan$ .

Estrategia de examen: Identifica primero el tipo de expresión $$a + bu$, $\sqrt{a^2 + u^2}$, etc.$ antes de buscar la fórmula. Esto te ahorrará tiempo valioso.

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Integrales Exponenciales y Especiales

Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen integrales que a menudo requieren integración por partes. La fórmula $\int u^n e^u du = u^n e^u - n \int u^{n-1} e^u du$ es recursiva: reduce el exponente de $u$ paso a paso.

Para combinar exponenciales con trigonometría, como $\int e^{au} \sen bu , du$ , el resultado es una fracción donde aparecen tanto seno como coseno: $\frac{e^{au}}{a^2 + b^2}(a \sen bu - b \cos bu) + C$ .

Las funciones hiperbólicas $\senh$, $\cosh$, $\tanh$ tienen integrales muy parecidas a las trigonométricas normales. $\int \senh u , du = \cosh u + C$ es análogo a $\int \sen u , du = -\cos u + C$ .

Las formas con $\sqrt{2au - u^2}$ aparecen cuando completas cuadrados en expresiones cuadráticas. Estas integrales combinan raíces cuadradas con funciones trigonométricas inversas como $\cos^{-1}$ .

Reflexión final: Estas tablas de integrales son tu GPS matemático. Te dicen exactamente dónde ir, pero necesitas entender el "por qué" para usarlas efectivamente en problemas complejos.

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usuaria de Android

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Fórmulas de Álgebra y Geometría

Megan Ayala

@meganayala

¿Te sientes abrumado por tantas fórmulas matemáticas dispersas? Esta guía de referencia reúne las fórmulas esenciales de álgebra, geometría, trigonometría y cálculo que vas a usar constantemente en tu último año de preparatoria. Son como tu "caja de herramientas" matemática... Mostrar más

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