Página de Presentación

Esta es la portada del Formulario № 2 de geometría. Contiene las herramientas matemáticas fundamentales que vas a usar durante todo el curso.

El formulario está diseñado para ser tu guía de consulta rápida durante exámenes y tareas. Cada sección tiene fórmulas específicas organizadas por tema.

💡 Tip: Marcá con colores diferentes las fórmulas que más uses para encontrarlas más rápido durante los exámenes.

Geometría del Espacio y Sólidos Regulares

Las posiciones entre rectas y planos son clave: una recta puede ser paralela (L₁ || P), estar contenida (L₂ ⊂ P) o intersectar en un punto $L₃ ∩ P = {T}$. Cuando una recta es perpendicular a un plano, también es perpendicular a todas las rectas contenidas en ese plano.

El Teorema de Euler para poliedros convexos es fundamental: V + C = A + 2, donde V son vértices, C caras y A aristas. Esta fórmula nunca falla con poliedros convexos.

Los poliedros regulares tienen fórmulas específicas para área y volumen. El tetraedro regular tiene volumen V = (a³√2)/12, mientras que el hexaedro (cubo) tiene la fórmula más simple: V = a³.

Para cilindros y pirámides, recordá que el área lateral del cilindro es ASL = 2πRh y su volumen V = πR²h. Las pirámides regulares tienen volumen V = (AB·h)/3, donde AB es el área de la base.

💡 Recorda: En geometría del espacio, siempre dibujá la figura primero para visualizar mejor el problema.

Prismas, Cilindros, Conos y Teoremas Especiales

Los prismas rectos tienen área lateral ASL = 2PB·H (perímetro de la base por altura) y volumen V = AB·H. Para troncos de prisma, el volumen es V = S$a+b+c$/3, donde a, b, c son las alturas de las aristas.

En conos circulares rectos, el área lateral es ASL = πRg (donde g es la generatriz) y el volumen V = πR²h/3. Los troncos de cono tienen la fórmula V = πh$R²+r²+Rr$/3.

La esfera tiene las fórmulas más elegantes: área superficie AST = 4πR² y volumen V = 4πR³/3. La semiesfera tiene área total AT = 3πR².

Los Teoremas de Pappus son súper útiles: el primer teorema relaciona áreas con distancias al eje, mientras que el segundo relaciona volúmenes. Estos teoremas te permiten calcular áreas y volúmenes de sólidos de revolución.

💡 Dato importante: Los teoremas de Pappus son especialmente útiles para figuras complejas que giran alrededor de un eje.

Áreas de Figuras Planas

Para triángulos, tenés varias opciones: la clásica A = bh/2, usando dos lados y el ángulo A = ab·senα/2, o la fórmula de Herón A = √$p(p-a)(p-b)(p-c)$ donde p es el semiperímetro.

Los cuadriláteros tienen fórmulas específicas: el rombo A = Dd/2 (producto de diagonales), el cuadrado A = L², y el trapecio A = $B+b$h/2. Para el romboide (paralelogramo), A = B·H = b·h.

Las figuras circulares incluyen el círculo A = πR², el sector circular A = πR²α/360°, y la corona circular A = π$R²-r²$. Para el segmento circular, restás el área del triángulo al sector.

Los teoremas de proporcionalidad son clave: figuras semejantes tienen áreas proporcionales al cuadrado de sus lados correspondientes $S₁/S₂ = a²/b²$.

💡 Truco: Para figuras irregulares, siempre intentá descomponerlas en triángulos y cuadriláteros conocidos.

Propiedades de la Circunferencia

Los ángulos centrales e inscritos siguen reglas específicas: si O es centro, entonces α = β para ángulos centrales iguales. Los ángulos opuestos en un cuadrilátero inscrito suman 180°.

Para ángulos formados por secantes y tangentes, si T es punto de tangencia, entonces α = β. Los ángulos formados por dos tangentes desde un punto exterior son iguales.

El ángulo semi-inscrito (formado por una cuerda y una tangente) mide la mitad del arco correspondiente, igual que el ángulo inscrito.

Los ángulos entre cuerdas dentro del círculo valen la semimesuma de los arcos: x = (α+β)/2. Los ángulos formados por secantes exteriores valen la semidiferencia: x = (α-β)/2.

💡 Recordá: En problemas de circunferencia, identificá primero qué tipo de ángulo estás analizando antes de aplicar la fórmula.

Teoremas Fundamentales de Geometría Plana

El Teorema de Poncelet para triángulos rectángulos dice que a+b = c+2r, donde r es el inradio. El Teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales establece que a+b = x+y (lados opuestos suman igual).

Los teoremas de potencia son súper importantes: PA·PB para tangentes desde un punto exterior, y las relaciones de proporcionalidad en triángulos rectángulos.

Para cuadriláteros inscriptibles, recordá que los ángulos opuestos suman 180°. En paralelogramos inscriptos en circunferencias, necesariamente son rectángulos.

Las relaciones métricas incluyen propiedades de medianas, alturas y bisectrices. Por ejemplo, en triángulos rectángulos, la altura a la hipotenusa crea segmentos con relaciones específicas.

💡 Estrategia: En problemas complejos, buscá primero triángulos rectángulos ocultos para aplicar teoremas conocidos.

Teoremas de Cuerdas, Tangentes y Secantes

El Teorema de las cuerdas establece que si dos cuerdas se cruzan, entonces ab = xy (los productos de sus segmentos son iguales). Es uno de los más útiles en problemas de circunferencia.

El Teorema de la tangente dice que el cuadrado del segmento tangente iguala el producto de los segmentos de la secante: x² = ab. El Teorema de las secantes generaliza esto: ab = xy.

El Teorema de Ptolomeo para cuadriláteros inscriptos es clave: xy = ac + bd. Relaciona las diagonales con los lados del cuadrilátero.

En triángulos rectángulos, tenés las relaciones fundamentales: a² = cm, h² = mn, y 1/h² = 1/a² + 1/b². Estas fórmulas conectan catetos, hipotenusa y altura.

💡 Aplicación práctica: Estos teoremas son especialmente útiles para calcular longitudes desconocidas cuando conocés otros segmentos.

Teoremas de Proporcionalidad y Semejanza

El Teorema de Thales es fundamental: si tenés rectas paralelas cortadas por transversales, los segmentos correspondientes son proporcionales. Sus corolarios extienden esta idea a triángulos.

Los teoremas de la bisectriz (interior y exterior) establecen proporciones específicas: la bisectriz divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

El Teorema de Menelao y el Teorema de Ceva son herramientas poderosas para puntos colineales y concurrentes respectivamente. Ambos usan productos de razones que igualan 1.

El Teorema del incentro y otras propiedades de puntos notables te dan relaciones métricas específicas como x² = ab para ciertas configuraciones.

💡 Consejo: Dominá bien Thales primero, porque es la base para entender todos los otros teoremas de proporcionalidad.

Ángulos en Polígonos y Triángulos

La suma de ángulos internos de un triángulo siempre es 180°: α + β + φ = 180°. Para polígonos, la suma de ángulos internos es $n-2$·180°.

Los ángulos externos de cualquier polígono convexo suman 360°. En triángulos, un ángulo externo iguala la suma de los dos internos no adyacentes: x = a + b.

Las desigualdades triangulares son fundamentales: b - c < a < b + c, y el lado mayor se opone al ángulo mayor: a > b ⟺ α > β.

En triángulos especiales, el equilátero tiene todos sus ángulos de 60°, y el isósceles tiene dos ángulos iguales en la base.

💡 Recordá: Si conocés dos ángulos de un triángulo, automáticamente conocés el tercero restando de 180°.

Cuadriláteros y Sus Propiedades

En paralelogramos, los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suman 180°. Las diagonales se bisecan mutuamente, y lados opuestos son iguales y paralelos.

Los trapecios tienen propiedades específicas: en el trapecio isósceles, los ángulos de cada base son iguales, y las diagonales son congruentes. La mediana de un trapecio es x = $a+b$/2.

En trapecios regulares (isósceles), además de las propiedades anteriores, los lados no paralelos son iguales y forman ángulos iguales con las bases.

La suma de ángulos internos de cualquier cuadrilátero es 360°: α + β + θ + φ = 360°. Esto incluye paralelogramos, trapecios, rombos y cuadrados.

💡 Identificación rápida: Si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos, es trapecio. Si tiene dos pares, es paralelogramo.