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Álgebra
22 nov 2025
802
45 páginas
Nao Cruz @naocruz
¿Sabías que los números complejos surgieron cuando los matemáticos se toparon con un problema "imposible" de resolver? Este... Mostrar más
Este curso de álgebra lineal está diseñado para estudiantes de Ingeniería en Sistemas Computacionales en el TECNM. La materia te dará las herramientas matemáticas que necesitas para programación avanzada, gráficos por computadora y inteligencia artificial.
El curso cubre cinco temas esenciales que van construyendo conocimiento paso a paso. Empezarás con los números complejos y terminarás dominando las transformaciones lineales que hacen posible todo, desde los filtros de Instagram hasta los algoritmos de Machine Learning.
💡 Dato curioso Todo lo que aprendas aquí tiene aplicaciones directas en el desarrollo de software, especialmente en gráficos 3D y procesamiento de señales.
El curso está estructurado en cinco bloques que se conectan entre sí como piezas de un rompecabezas matemático.
Comenzarás con los números complejos, esos números "raros" que incluyen la famosa √-1. Después estudiarás matrices y determinantes, las herramientas básicas para manejar datos en programación. Los sistemas de ecuaciones lineales te enseñarán a resolver problemas con múltiples incógnitas.
Los espacios vectoriales te mostrarán cómo funcionan realmente las dimensiones en matemáticas. Finalmente, las transformaciones lineales te darán el poder de rotar, escalar y mover objetos en el espacio digital.
🎯 Tip de estudio Cada tema construye sobre el anterior, así que no te saltes ninguno. ¡La base sólida es clave para el éxito!
Los números complejos no son tan complicados como suenan, aunque su nombre pueda intimidarte un poco. Son simplemente una extensión natural de los números que ya conoces, creados para resolver problemas que parecían imposibles.
Este primer tema te llevará desde los conceptos básicos hasta entender por qué estos números son tan importantes en ingeniería y programación. Descubrirás que la definición y origen de los números complejos tiene una historia fascinante llena de matemáticos que se negaban a aceptar lo "imposible".
🚀 Motivación Los números complejos son fundamentales en el procesamiento de señales digitales, ¡incluyendo cómo funciona el audio en tu celular!
Todo empezó con algo tan simple como medir triángulos. Las raíces cuadradas surgieron cuando las civilizaciones antiguas necesitaban calcular longitudes, especialmente en los famosos triángulos rectángulos de Pitágoras.
Para los babilonios, egipcios y mayas, pensar en raíces cuadradas negativas no tenía ningún sentido práctico. ¿Cómo puedes medir algo que "no existe" en la realidad física?
El primer valiente en enfrentarse a este problema fue Herón de Alejandría en el año 50 DC. Mientras estudiaba figuras tridimensionales, se topó con estas raíces negativas que nadie sabía cómo manejar.
📚 Contexto histórico Imagínate ser el primero en encontrar algo que contradice todo lo que sabes sobre números. ¡Eso requiere mucho valor matemático!
En 1804, el matemático Mahavira expresó lo que muchos pensaban en esa época sobre las cantidades negativas. Su postura era clara y contundente "Como en la naturaleza de las cosas, una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto, no puede tener raíz cuadrada."
Esta declaración refleja el pensamiento matemático de la época, donde todo tenía que tener una interpretación física directa. Si no podías tocarlo o medirlo en el mundo real, simplemente no existía matemáticamente.
Sin embargo, esta resistencia no detendría el progreso matemático. Los problemas prácticos seguían apareciendo y necesitaban soluciones, aunque parecieran "imposibles".
🤔 Reflexión A veces los mayores avances vienen de cuestionar lo que "todos saben" que es imposible.
Cardano en 1553 se enfrentó a un problema aparentemente sencillo dividir 40 en dos partes cuyo producto sea también 40. Esto lo llevó al sistema de ecuaciones X+Y=10 y XY=40.
La solución matemática daba X=5+√-15 y Y=5-√-15. Cardano admitió honestamente que "no le encontraba sentido" a estos números extraños. Pero aquí viene lo increíble cuando verificó su respuesta, ¡funcionaba perfectamente!
Al multiplicar (5+√-15)(5-√-15) obtuvo exactamente 40. Los números imaginarios demostraron ser útiles, aunque nadie entendiera realmente qué significaban.
💡 Eureka A veces las matemáticas funcionan antes de que entendamos por qué funcionan. ¡La verificación práctica puede venir antes que la comprensión teórica!
Descartes en 1637 fue quien acuñó el término que usamos hasta hoy números imaginarios. Su explicación era directa "Ni las raíces verdaderas, ni las falsas son siempre reales, a veces solo imaginarias."
Aunque Descartes no les daba mucha importancia a estos números, su reconocimiento científico hizo que otros matemáticos comenzaran a prestarles atención. A veces un simple nombre puede cambiar la percepción de toda una comunidad científica.
La ironía es que el término "imaginario" ha confundido a generaciones de estudiantes, cuando en realidad estos números son tan "reales" como cualquier otro en sus aplicaciones prácticas.
🎭 Dato curioso El nombre "imaginario" fue originalmente despectivo, pero ahora es parte fundamental de la ingeniería moderna.
Carl Friedrich Gauss en 1796 revolucionó todo al crear la representación geométrica de los números complejos. Finalmente, estos números "imaginarios" tenían un lugar visual en el plano cartesiano.
La forma estándar a + bi ahora tenía sentido gráfico 'a' se representa en el eje horizontal (parte real) y 'b' en el eje vertical (parte imaginaria). Esta visualización cambió completamente cómo entendemos estos números.
Con esta representación, los números complejos dejaron de ser abstractos y se volvieron tan tangibles como cualquier punto en un mapa.
🗺️ Visualización clave Piensa en los números complejos como coordenadas GPS necesitas dos números (real e imaginario) para ubicar exactamente un punto.
Gauss regresó en 1831 con su "Teoría Residuorum" para darle el formalismo matemático completo a los números complejos. Estableció su relación definitiva con la geometría y creó la base teórica que usamos hoy.
El diagrama muestra cómo los números complejos (C) incluyen tanto a los números reales (R) como a los números imaginarios puros (P). Es como un gran conjunto que abarca todas las posibilidades numéricas.
Ejemplos como 3+2i, √15, i, -2, y -π-i muestran la diversidad de estos números. Cada uno tiene su lugar específico en este sistema unificado.
🏗️ Arquitectura matemática Los números complejos son como un edificio los reales son los cimientos, los imaginarios son las paredes, y juntos forman una estructura completa.
Un número complejo es simplemente la combinación de dos partes una parte real y una parte imaginaria. En el ejemplo z = 5 + 4i, el número 5 es la parte real y 4i es la parte imaginaria.
Esta estructura aparentemente simple es increíblemente poderosa. Los números complejos permiten resolver ecuaciones que son imposibles con números reales, modelar ondas y señales, y describir rotaciones en el espacio.
La belleza está en su simplicidad solo necesitas dos números para abrir un mundo completamente nuevo de posibilidades matemáticas.
🔑 Concepto clave Todo número complejo es como una dirección completa necesitas la "calle" (parte real) y el "número" (parte imaginaria) para llegar al destino correcto.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Los espacios vectoriales te mostrarán cómo funcionan realmente las dimensiones en matemáticas. Finalmente, las transformaciones lineales te darán el poder de rotar, escalar y mover objetos en el espacio digital.
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Para los babilonios, egipcios y mayas, pensar en raíces cuadradas negativas no tenía ningún sentido práctico. ¿Cómo puedes medir algo que "no existe" en la realidad física?
El primer valiente en enfrentarse a este problema fue Herón de Alejandría en el año 50 DC. Mientras estudiaba figuras tridimensionales, se topó con estas raíces negativas que nadie sabía cómo manejar.
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En 1804, el matemático Mahavira expresó lo que muchos pensaban en esa época sobre las cantidades negativas. Su postura era clara y contundente: "Como en la naturaleza de las cosas, una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto, no puede tener raíz cuadrada."
Esta declaración refleja el pensamiento matemático de la época, donde todo tenía que tener una interpretación física directa. Si no podías tocarlo o medirlo en el mundo real, simplemente no existía matemáticamente.
Sin embargo, esta resistencia no detendría el progreso matemático. Los problemas prácticos seguían apareciendo y necesitaban soluciones, aunque parecieran "imposibles".
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Cardano en 1553 se enfrentó a un problema aparentemente sencillo: dividir 40 en dos partes cuyo producto sea también 40. Esto lo llevó al sistema de ecuaciones X+Y=10 y XY=40.
La solución matemática daba X=5+√-15 y Y=5-√-15. Cardano admitió honestamente que "no le encontraba sentido" a estos números extraños. Pero aquí viene lo increíble: cuando verificó su respuesta, ¡funcionaba perfectamente!
Al multiplicar (5+√-15)(5-√-15) obtuvo exactamente 40. Los números imaginarios demostraron ser útiles, aunque nadie entendiera realmente qué significaban.
💡 Eureka: A veces las matemáticas funcionan antes de que entendamos por qué funcionan. ¡La verificación práctica puede venir antes que la comprensión teórica!
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Descartes en 1637 fue quien acuñó el término que usamos hasta hoy: números imaginarios. Su explicación era directa: "Ni las raíces verdaderas, ni las falsas son siempre reales, a veces solo imaginarias."
Aunque Descartes no les daba mucha importancia a estos números, su reconocimiento científico hizo que otros matemáticos comenzaran a prestarles atención. A veces un simple nombre puede cambiar la percepción de toda una comunidad científica.
La ironía es que el término "imaginario" ha confundido a generaciones de estudiantes, cuando en realidad estos números son tan "reales" como cualquier otro en sus aplicaciones prácticas.
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Carl Friedrich Gauss en 1796 revolucionó todo al crear la representación geométrica de los números complejos. Finalmente, estos números "imaginarios" tenían un lugar visual en el plano cartesiano.
La forma estándar a + bi ahora tenía sentido gráfico: 'a' se representa en el eje horizontal (parte real) y 'b' en el eje vertical (parte imaginaria). Esta visualización cambió completamente cómo entendemos estos números.
Con esta representación, los números complejos dejaron de ser abstractos y se volvieron tan tangibles como cualquier punto en un mapa.
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Gauss regresó en 1831 con su "Teoría Residuorum" para darle el formalismo matemático completo a los números complejos. Estableció su relación definitiva con la geometría y creó la base teórica que usamos hoy.
El diagrama muestra cómo los números complejos (C) incluyen tanto a los números reales (R) como a los números imaginarios puros (P). Es como un gran conjunto que abarca todas las posibilidades numéricas.
Ejemplos como 3+2i, √15, i, -2, y -π-i muestran la diversidad de estos números. Cada uno tiene su lugar específico en este sistema unificado.
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Un número complejo es simplemente la combinación de dos partes: una parte real y una parte imaginaria. En el ejemplo z = 5 + 4i, el número 5 es la parte real y 4i es la parte imaginaria.
Esta estructura aparentemente simple es increíblemente poderosa. Los números complejos permiten resolver ecuaciones que son imposibles con números reales, modelar ondas y señales, y describir rotaciones en el espacio.
La belleza está en su simplicidad: solo necesitas dos números para abrir un mundo completamente nuevo de posibilidades matemáticas.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
