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Geometría y trigonometría148Actualizado 3 sep 20263 páginas

Fórmulas de Suma y Resta en Trigonometría

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¿Sabías que puedes calcular el valor exacto de cualquier función trigonométrica usando solo los ángulos que ya conoces? Las fórmulas de suma y diferencia te permiten dividir ángulos complicados en partes más simples, como convertir 75° en 30° + 45°.
Identidades Trigonométricas con Suma y Resta de Ángulos Notables – página 1

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Fórmulas de Suma para Coseno y Tangente

El coseno de 75° se puede calcular fácilmente expresándolo como la suma de dos ángulos notables: 30° + 45°. Usando la fórmula cosA+BA + B = cos A cos B - sen A sen B, obtienes cos 75° = √6−√2√6 - √2/4.

Para la tangente de 15°, usas la diferencia 45° - 30°. La fórmula tanA−BA - B = (tan A - tan B)/(1 + tan A tan B) te da como resultado tan 15° = 2 - √3. Este proceso requiere racionalizar el denominador multiplicando por el conjugado.

La tangente de 105° (que es 45° + 60°) usa la fórmula de suma y resulta en -2 - √3. Nota cómo el signo negativo aparece porque 105° está en el segundo cuadrante.

Tip clave: Siempre expresa el ángulo como suma o diferencia de 30°, 45°, 60° o sus múltiplos para usar los valores exactos que ya conoces.

Identidades Trigonométricas con Suma y Resta de Ángulos Notables – página 2

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Funciones Recíprocas y Ángulos Especiales

La cosecante de 15° se calcula usando la fórmula del seno de diferencia, pero invertida. Como csc 15° = 1/sen 15°, primero encuentras sen45°−30°45° - 30° y luego tomas su recíproco. El resultado final es √6+√2√6 + √2/3.

Para la tangente de 345°, reconoce que este ángulo equivale a -15° (ya que 345° = 360° - 15°). Por tanto, tan 345° = -tan 15° = -2−√32 - √3 = √3 - 2.

La secante de 165° requiere calcular cos30°+135°30° + 135° primero. Usando la fórmula de suma del coseno y luego tomando el recíproco, obtienes sec 165° = -√6+√2√6 + √2/3.

Estrategia ganadora: Para funciones recíprocas, siempre calcula primero la función original y luego invierte el resultado.

Identidades Trigonométricas con Suma y Resta de Ángulos Notables – página 3

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Aplicando Fórmulas de Suma al Seno

El seno de 165° se descompone como 30° + 135°, donde 135° está en el segundo cuadrante. Aplicando senA+BA + B = sen A cos B + cos A sen B, sustituyes los valores conocidos.

El cálculo queda: sen 165° = 1/2$$-√2/2 + √3/2$$√2/2 = −√2+√6-√2 + √6/4. Observa cómo el primer término es negativo porque cos 135° = -√2/2.

Este resultado final de −√2+√6-√2 + √6/4 también se puede escribir como √6−√2√6 - √2/4, que coincide con cos 15°. Esto no es casualidad: sen 165° = cos 15° debido a los ángulos complementarios.

Conexión importante: Muchos valores trigonométricos están relacionados entre sí. Busca estos patrones para verificar tus respuestas y entender mejor las relaciones trigonométricas.

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