Geometría y trigonometría148 visualizaciones·Actualizado 20 jul 2026·3 páginas

Fórmulas de Suma y Resta en Trigonometría

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¿Sabías que puedes calcular el valor exacto de cualquier función...

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Identidades Trigonométricas con Suma y Resta de Ángulos Notables – página 1

Fórmulas de Suma para Coseno y Tangente

El coseno de 75° se puede calcular fácilmente expresándolo como la suma de dos ángulos notables: 30° + 45°. Usando la fórmula cos $A + B$ = cos A cos B - sen A sen B, obtienes cos 75° = $√6 - √2$ /4.

Para la tangente de 15°, usas la diferencia 45° - 30°. La fórmula tan $A - B$ = (tan A - tan B)/(1 + tan A tan B) te da como resultado tan 15° = 2 - √3. Este proceso requiere racionalizar el denominador multiplicando por el conjugado.

La tangente de 105° (que es 45° + 60°) usa la fórmula de suma y resulta en -2 - √3. Nota cómo el signo negativo aparece porque 105° está en el segundo cuadrante.

Tip clave: Siempre expresa el ángulo como suma o diferencia de 30°, 45°, 60° o sus múltiplos para usar los valores exactos que ya conoces.

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Identidades Trigonométricas con Suma y Resta de Ángulos Notables – página 2

Funciones Recíprocas y Ángulos Especiales

La cosecante de 15° se calcula usando la fórmula del seno de diferencia, pero invertida. Como csc 15° = 1/sen 15°, primero encuentras sen $45° - 30°$ y luego tomas su recíproco. El resultado final es $√6 + √2$ /3.

Para la tangente de 345°, reconoce que este ángulo equivale a -15° (ya que 345° = 360° - 15°). Por tanto, tan 345° = -tan 15° = - $2 - √3$ = √3 - 2.

La secante de 165° requiere calcular cos $30° + 135°$ primero. Usando la fórmula de suma del coseno y luego tomando el recíproco, obtienes sec 165° = - $√6 + √2$ /3.

Estrategia ganadora: Para funciones recíprocas, siempre calcula primero la función original y luego invierte el resultado.

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Aplicando Fórmulas de Suma al Seno

El seno de 165° se descompone como 30° + 135°, donde 135° está en el segundo cuadrante. Aplicando sen $A + B$ = sen A cos B + cos A sen B, sustituyes los valores conocidos.

El cálculo queda: sen 165° = $1/2$$-\sqrt2/2$ + $\sqrt3/2$$\sqrt2/2$ = $-√2 + √6$ /4. Observa cómo el primer término es negativo porque cos 135° = -√2/2.

Este resultado final de $-√2 + √6$ /4 también se puede escribir como $√6 - √2$ /4, que coincide con cos 15°. Esto no es casualidad: sen 165° = cos 15° debido a los ángulos complementarios.

Conexión importante: Muchos valores trigonométricos están relacionados entre sí. Busca estos patrones para verificar tus respuestas y entender mejor las relaciones trigonométricas.

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Fórmulas de Suma y Resta en Trigonometría

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¿Sabías que puedes calcular el valor exacto de cualquier función trigonométrica usando solo los ángulos que ya conoces? Las fórmulas de suma y diferencia te permiten dividir ángulos complicados en partes más simples, como convertir 75° en 30° + 45°.

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La tangente de 105° (que es 45° + 60°) usa la fórmula de suma y resulta en -2 - √3. Nota cómo el signo negativo aparece porque 105° está en el segundo cuadrante.

Tip clave: Siempre expresa el ángulo como suma o diferencia de 30°, 45°, 60° o sus múltiplos para usar los valores exactos que ya conoces.

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Funciones Recíprocas y Ángulos Especiales

Para la tangente de 345°, reconoce que este ángulo equivale a -15° (ya que 345° = 360° - 15°). Por tanto, tan 345° = -tan 15° = - $2 - √3$ = √3 - 2.

La secante de 165° requiere calcular cos $30° + 135°$ primero. Usando la fórmula de suma del coseno y luego tomando el recíproco, obtienes sec 165° = - $√6 + √2$ /3.

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El cálculo queda: sen 165° = $1/2$$-\sqrt2/2$ + $\sqrt3/2$$\sqrt2/2$ = $-√2 + √6$ /4. Observa cómo el primer término es negativo porque cos 135° = -√2/2.

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