Fórmulas Básicas y Sistema de Coordenadas

¿Te has preguntado cómo calcular exactamente qué tan lejos están dos ciudades en un mapa? La fórmula de distancia es tu mejor amiga: d = √$(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²$. Es como el teorema de Pitágoras pero aplicado a puntos en el plano.

El punto medio te dice exactamente dónde está el centro entre dos puntos usando M = $(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2$. Súper útil cuando necesitas encontrar el punto exacto entre dos ubicaciones.

Las coordenadas polares son otra forma de ubicar puntos usando un ángulo y una distancia desde el origen. Para convertir de rectangulares a polares usas r = √$x² + y²$ y θ = tan⁻¹(y/x).

¡Tip clave! Memoriza estas fórmulas básicas porque las vas a usar en todo lo que sigue.

Ecuaciones de la Recta

Las rectas están en todas partes y hay varias maneras de escribir su ecuación según lo que tengas. La pendiente $m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)$ te dice qué tan inclinada está una línea.

Si ya tienes un punto y la pendiente, usa la forma punto-pendiente: y-y₁=m$x-x₁$. Para la forma más común que probablemente ya conoces, la pendiente-intersección es y = mx + b, donde b es donde la línea cruza el eje y.

La forma general Ax + By + C = 0 es súper útil para calcular distancias. Hablando de eso, la distancia de un punto a una recta es d = |Ax₀ + By₀ + C|/√$A² + B²$.

Las rectas pueden ser paralelas (misma pendiente), perpendiculares $m₁m₂ = -1$, o coincidir completamente. El ángulo entre dos rectas se calcula con tan(θ) = |$m₁ - m₂$/$1 + m₁m₂$|.

¡Dato importante! Si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes siempre es -1.

Cónicas: Circunferencia y Parábola

Las cónicas son curvas que aparecen cuando cortas un cono con un plano. La circunferencia es la más simple: todos los puntos están a la misma distancia del centro. Su ecuación es $x-h$² + $y-k$² = r², donde (h,k) es el centro y r es el radio.

La parábola es esa curva en forma de U que ves en las antenas satelitales. Su ecuación depende de si se abre horizontal o verticalmente. Para eje horizontal: $y-k$² = 4p$x-h$, y para vertical: $x-h$² = 4p$y-k$.

Los elementos importantes de la parábola son el vértice (punto más bajo o alto), el foco (punto interno), la directriz (línea externa) y el parámetro p (distancia del vértice al foco).

¡Conexión real! Los faros de los autos usan parábolas para enfocar la luz perfectamente.

Elipse e Hipérbola

La elipse es como un círculo aplastado donde la suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Su ecuación es $(x-h)²$/a² + $(y-k)²$/b² = 1 cuando el eje mayor es horizontal.

Los elementos clave son el eje mayor (la línea más larga), el eje menor (perpendicular al mayor), los focos (F₁ y F₂), y la excentricidad e = c/a. La relación importante es c² = a² - b².

La hipérbola es más dramática: la diferencia de distancias a dos focos es constante. Su ecuación es $(x-h)²$/a² - $(y-k)²$/b² = 1 para eje horizontal. Tiene asíntotas que son líneas que la curva se acerca pero nunca toca.

¡Dato curioso! Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas, por eso pasan una sola vez cerca del Sol.

Elementos Especiales y Propiedades

Las asíntotas de la hipérbola son súper importantes porque te dan la "forma" general de la curva. La excentricidad de la hipérbola siempre es mayor que 1 $e = c/a$, lo que la hace más "abierta" que la elipse.

En los triángulos, tienes rectas especiales como la altura (perpendicular al lado opuesto), la mediana (une vértice con punto medio), la bisectriz (divide el ángulo) y la mediatriz (perpendicular en el punto medio del lado).

Los puntos notables son el ortocentro (intersección de alturas), baricentro (intersección de medianas) y circucentro (intersección de mediatrices).

¡Para el examen! Estas propiedades especiales aparecen mucho en problemas de aplicación.