Asignaturas
Geometría analítica
1 dic 2025
154
5 páginas
CELARA @celara.studio
¡Prepárate para dominar las circunferencias! Este tema es fundamental en geometría analítica y es súper útil para entender... Mostrar más
¿Sabías que cada círculo tiene una "huella digital" matemática única? Al analizar una gráfica de circunferencia, necesitas identificar tres elementos clave el radio, las coordenadas del centro y su ecuación.
En los primeros ejemplos, vemos circunferencias con centro en el origen (0,0). La primera tiene radio r = 8 unidades y su ecuación es x² + y² = 64. ¿Notas el patrón? El número 64 es exactamente 8² (el radio al cuadrado).
La segunda circunferencia es más pequeña, con radio r = 1.6 unidades y ecuación x² + y² = 2.56. Nuevamente, 2.56 = (1.6)², confirmando la relación fundamental entre el radio y la ecuación estándar.
💡 Tip clave Para circunferencias centradas en el origen, la ecuación siempre es x² + y² = r², donde r es el radio.
Aquí es donde las cosas se ponen más interesantes. Cuando una circunferencia no está centrada en (0,0), su ecuación cambia drásticamente y usa la forma ² + ² = r².
En el ejemplo IV, tenemos una circunferencia con centro en (-6,7) y radio r = 2. Su ecuación se convierte en ² + ² = 4. ¿Ves cómo los signos cambian? Si el centro está en (-6,7), entonces h = -6 y k = 7.
El ejemplo V muestra otra circunferencia con centro en (-9,-8) y radio r = 4. Su ecuación es ² + ² = 16. Esta transformación te permite ubicar círculos en cualquier parte del plano cartesiano.
💡 Recuerda Los signos en la ecuación son opuestos a las coordenadas del centro. Si el centro es (-6,7), escribes ² + ².
Ahora viene la parte práctica convertir ecuaciones en gráficas perfectas. Cuando tienes una ecuación como x² + y² = 73, primero calculas el radio r = √73 ≈ 8.5 unidades, con centro en (0,0).
Para ecuaciones como ² + ² = 100, identificas que el centro está en (-5,8) y el radio es r = √100 = 10 unidades. Es como descifrar un código matemático que te dice exactamente dónde dibujar tu círculo.
El truco está en encontrar cuatro puntos clave por donde pasa la circunferencia. Generalmente usas los puntos más alejados en cada dirección arriba, abajo, izquierda y derecha del centro. Esto te da una guía perfecta para trazar un círculo simétrico.
💡 Estrategia ganadora Siempre marca primero el centro, luego mide el radio en las cuatro direcciones principales para obtener tus puntos guía.
La práctica real ocurre cuando graficas múltiples circunferencias en un mismo plano cartesiano. Esto te ayuda a visualizar cómo diferentes radios y centros crean patrones únicos en el espacio.
Al trabajar con ecuaciones como x² + y² = 50 (centro en origen, r ≈ 7.07) junto con ² + ² = 4 , desarrollas tu intuición geométrica. Cada círculo cuenta una historia diferente sobre su posición y tamaño.
El papel milimétrico se convierte en tu mejor aliado porque te permite ser preciso con las medidas. Cada cuadrito representa una unidad, facilitando el cálculo de distancias y la ubicación exacta de centros y radios.
💡 Consejo práctico Usa diferentes colores para cada circunferencia cuando grafiques varias juntas. Esto evita confusiones y hace tu trabajo más claro.
En esta página final, observas la aplicación completa de todos los conceptos. Las circunferencias grandes y pequeñas coexisten en el mismo plano, cada una con sus características únicas pero siguiendo las mismas reglas matemáticas fundamentales.
La clave del éxito está en la práctica sistemática identificar centro, calcular radio, escribir ecuación y graficar con precisión. Este proceso se vuelve automático con la repetición, y pronto podrás visualizar círculos solo viendo sus ecuaciones.
💡 Reflexión final Las circunferencias están en todas partes ruedas, planetas, ondas. Dominar este tema te conecta con la geometría del mundo real.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
5
Herramientas Inteligentes NUEVO
Convierte estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Tarjetas de Estudio Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
CELARA
@celara.studio
¡Prepárate para dominar las circunferencias! Este tema es fundamental en geometría analítica y es súper útil para entender cómo las matemáticas describen formas perfectas en el mundo real. Vas a aprender a identificar el centro, radio y ecuaciones de círculos,... Mostrar más
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
¿Sabías que cada círculo tiene una "huella digital" matemática única? Al analizar una gráfica de circunferencia, necesitas identificar tres elementos clave: el radio, las coordenadas del centro y su ecuación.
En los primeros ejemplos, vemos circunferencias con centro en el origen (0,0). La primera tiene radio r = 8 unidades y su ecuación es x² + y² = 64. ¿Notas el patrón? El número 64 es exactamente 8² (el radio al cuadrado).
La segunda circunferencia es más pequeña, con radio r = 1.6 unidades y ecuación x² + y² = 2.56. Nuevamente, 2.56 = (1.6)², confirmando la relación fundamental entre el radio y la ecuación estándar.
💡 Tip clave: Para circunferencias centradas en el origen, la ecuación siempre es x² + y² = r², donde r es el radio.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Aquí es donde las cosas se ponen más interesantes. Cuando una circunferencia no está centrada en (0,0), su ecuación cambia drásticamente y usa la forma ² + ² = r².
En el ejemplo IV, tenemos una circunferencia con centro en (-6,7) y radio r = 2. Su ecuación se convierte en ² + ² = 4. ¿Ves cómo los signos cambian? Si el centro está en (-6,7), entonces h = -6 y k = 7.
El ejemplo V muestra otra circunferencia con centro en (-9,-8) y radio r = 4. Su ecuación es ² + ² = 16. Esta transformación te permite ubicar círculos en cualquier parte del plano cartesiano.
💡 Recuerda: Los signos en la ecuación son opuestos a las coordenadas del centro. Si el centro es (-6,7), escribes ² + ².
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Ahora viene la parte práctica: convertir ecuaciones en gráficas perfectas. Cuando tienes una ecuación como x² + y² = 73, primero calculas el radio: r = √73 ≈ 8.5 unidades, con centro en (0,0).
Para ecuaciones como ² + ² = 100, identificas que el centro está en (-5,8) y el radio es r = √100 = 10 unidades. Es como descifrar un código matemático que te dice exactamente dónde dibujar tu círculo.
El truco está en encontrar cuatro puntos clave por donde pasa la circunferencia. Generalmente usas los puntos más alejados en cada dirección: arriba, abajo, izquierda y derecha del centro. Esto te da una guía perfecta para trazar un círculo simétrico.
💡 Estrategia ganadora: Siempre marca primero el centro, luego mide el radio en las cuatro direcciones principales para obtener tus puntos guía.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
La práctica real ocurre cuando graficas múltiples circunferencias en un mismo plano cartesiano. Esto te ayuda a visualizar cómo diferentes radios y centros crean patrones únicos en el espacio.
Al trabajar con ecuaciones como x² + y² = 50 (centro en origen, r ≈ 7.07) junto con ² + ² = 4 , desarrollas tu intuición geométrica. Cada círculo cuenta una historia diferente sobre su posición y tamaño.
El papel milimétrico se convierte en tu mejor aliado porque te permite ser preciso con las medidas. Cada cuadrito representa una unidad, facilitando el cálculo de distancias y la ubicación exacta de centros y radios.
💡 Consejo práctico: Usa diferentes colores para cada circunferencia cuando grafiques varias juntas. Esto evita confusiones y hace tu trabajo más claro.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
En esta página final, observas la aplicación completa de todos los conceptos. Las circunferencias grandes y pequeñas coexisten en el mismo plano, cada una con sus características únicas pero siguiendo las mismas reglas matemáticas fundamentales.
La clave del éxito está en la práctica sistemática: identificar centro, calcular radio, escribir ecuación y graficar con precisión. Este proceso se vuelve automático con la repetición, y pronto podrás visualizar círculos solo viendo sus ecuaciones.
💡 Reflexión final: Las circunferencias están en todas partes: ruedas, planetas, ondas. Dominar este tema te conecta con la geometría del mundo real.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
5
Herramientas Inteligentes NUEVO
Convierte estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Tarjetas de Estudio Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
