Integración por Sustitución - Casos Básicos

¿Te has preguntado cómo resolver integrales que parecen imposibles? La sustitución es tu mejor aliada para transformar expresiones complejas en algo manejable.

El truco está en identificar cuando el numerador es la derivada del denominador (o un múltiplo de ella). Por ejemplo, en $\int \frac{x}{3x^2+2} dx$, necesitas que $u = 3x^2+2$, entonces $du = 6x dx$, y obtienes $\frac{1}{6}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{6}\ln|3x^2+2| + C$.

Cuando las derivadas no coinciden exactamente, ajustas con constantes. En $\int \frac{3x dx}{6x^2+9}$, si $u = 6x^2+9$, entonces $du = 12x dx$, pero tienes $3x dx = \frac{du}{4}$.

💡 Tip clave: Si al derivar el denominador obtienes exactamente el numerador (o un múltiplo), ¡puedes saltarte pasos y escribir directamente el logaritmo!

Más Ejemplos de Sustitución Logarítmica

Dominar estos patrones te dará confianza para enfrentar cualquier integral de este tipo. La clave es reconocer la estructura rápidamente.

En $\int \frac{x^2 dx}{x^3+5}$, observa que la derivada de $x^3+5$ es $3x^2$, así que necesitas el factor $\frac{1}{3}$. El resultado es $\frac{1}{3}\ln|x^3+5| + C$.

Para integrales como $\int \frac{12x^3 + 6x^2}{3x^4+2x^2-5} dx$, el numerador es exactamente la derivada del denominador, entonces la respuesta es directamente $\ln|3x^4+2x^2-5| + C$.

El patrón con raíces también funciona: $\int \frac{3x dx}{x^2+3}$ se convierte en $\frac{3}{2}\ln|x^2+3| + C$ porque necesitas ajustar por el factor que falta.

💡 Recuerda: Siempre verifica que tu sustitución $u$ y su diferencial $du$ coincidan con lo que tienes en la integral.

Sustitución con Potencias

Cuando aparecen potencias en tus integrales, la sustitución se vuelve aún más poderosa. Estos casos son súper comunes en exámenes.

Para $(x+4)^3 dx$, simplemente usa $u = x+4$ y $du = dx$. La integral se convierte en $\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x+4)^4}{4} + C$.

En casos como $\int 6x(3x^2-2)^4 dx$, identifica que $u = 3x^2-2$ y $du = 6x dx$. ¡Perfecto! Obtienes $\int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{(3x^2-2)^5}{5} + C$.

Cuando los coeficientes no coinciden exactamente, como en $\int x^2(2x^3-5)^2 dx$, ajusta: si $u = 2x^3-5$, entonces $du = 6x^2 dx$, así que $x^2 dx = \frac{du}{6}$.

💡 Estrategia ganadora: Siempre busca que el diferencial $du$ coincida (o sea múltiplo) de lo que tienes multiplicando a la potencia.

Sustitución con Raíces

Las raíces pueden parecer intimidantes, pero con sustitución se resuelven elegantemente. Solo necesitas recordar que $\sqrt{u} = u^{1/2}$.

En $\int 3x^2\sqrt{x^3+5} dx$, usa $u = x^3+5$ con $du = 3x^2 dx$. La integral se transforma en $\int u^{1/2} du = \frac{2u^{3/2}}{3} + C = \frac{2\sqrt{(x^3+5)^3}}{3} + C$.

Para $\int 8x^3\sqrt{2x^4+6} dx$, la sustitución $u = 2x^4+6$ da $du = 8x^3 dx$, que coincide perfectamente. Resultado: $\frac{2\sqrt{(2x^4+6)^3}}{3} + C$.

El patrón es siempre el mismo: identifica qué está dentro de la raíz, encuentra su derivada, y verifica que aparezca como factor multiplicando.

💡 No olvides: Al integrar $u^{1/2}$, aplicas la regla de potencias: $\frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2u^{3/2}}{3}$.