Asignaturas
Matemáticas
22 nov 2025
642
34 páginas
Citlalli Briseño @brxs.oc
Los límites son una herramienta fundamental en cálculo que te ayuda a entender qué pasa con una función... Mostrar más
Practiquemos con algunos ejemplos que te van a ayudar a dominar esta técnica básica pero esencial.
Para lim(x→1) , sustituyes x=1 (1)²-(1)+4 = 1-1+4 = 6. Para lim(x→0) /, sustituyes x=0 (2(0)+5)/(0+1) = 5/1 = 5.
La clave está en verificar primero que la sustitución directa te dé un resultado real y definido. Si el denominador se hace cero o aparecen formas extrañas, necesitarás técnicas más sofisticadas.
💡 Recuerda Los límites finito-finito son tu punto de partida. Siempre intenta la sustitución directa primero antes de complicarte la vida.
¿Sabías que muchos límites se resuelven con una simple sustitución? Los límites finito-finito son tu mejor amigo porque son súper directos de resolver.
Un límite es finito-finito cuando x se acerca a un número real y el resultado también es un número real. No aparece infinito ni formas raras como 0/0.
La técnica es súper fácil solo sustituye el valor de x directamente en la función. Por ejemplo, si tienes lim(x→2) , simplemente calculas 3(2)+1 = 7. ¡Listo!
💡 Tip clave Si al sustituir obtienes algo como 0/0, entonces NO es finito-finito y necesitarás otras técnicas más avanzadas.
Veamos cómo funciona esto con ejemplos concretos que te van a aclarar el panorama completamente.
Considera una función escalón como f(x) = {1 si x<0, 2 si x≥0}. En x=0, el límite por la izquierda es 1 (porque la función vale 1 cuando x<0). El límite por la derecha es 2 (porque la función vale 2 cuando x≥0).
Como 1 ≠ 2, el límite general no existe en x=0. Esto es súper común en funciones que tienen "saltos" o discontinuidades.
💡 Estrategia Para resolver límites laterales, usa valores muy cercanos al punto pero del lado correcto, o analiza la definición por tramos de la función.
Imagínate que quieres saber qué pasa con una función en un punto, pero desde diferentes direcciones. Los límites laterales te permiten hacer exactamente eso.
El límite por la izquierda (x→a⁻) significa que te acercas al punto desde valores menores. El límite por la derecha (x→a⁺) significa que te acercas desde valores mayores.
Estos límites son cruciales para funciones que "saltan" o cambian bruscamente en un punto. Son especialmente importantes cuando trabajas con funciones definidas por tramos o con valores absolutos.
💡 Regla de oro El límite general existe solo si ambos límites laterales son iguales. Si son diferentes, el límite no existe.
Desarrollar una estrategia sistemática te va a ahorrar tiempo y errores en tus exámenes y tareas.
Método infalible Primero identifica si la función tiene tramos, valores absolutos o puntos donde podría "saltar". Luego sustituye valores ligeramente menores y mayores al punto de interés.
Si trabajas con funciones por tramos, usa la definición correcta para cada lado. Si hay valores absolutos, determina el signo de x en cada caso antes de simplificar.
💡 Error común No confundas los símbolos. El signo menos en x→a⁻ significa "por la izquierda", no que x sea negativo.
Los valores absolutos crean situaciones perfectas para practicar límites laterales, así que dominémoslos juntos.
Para f(x) = |x|/x en x=0, analiza cada lado por separado. Cuando x→0⁻, tienes x negativo, entonces |x| = -x, y f(x) = /x = -1. Cuando x→0⁺, tienes x positivo, entonces |x| = x, y f(x) = x/x = 1.
Los límites laterales son -1 y 1 respectivamente. Como son diferentes, el límite general en x=0 no existe. Esta es la respuesta correcta y completa.
💡 Tip práctico Con valores absolutos, siempre separa en casos x positivo y x negativo. Te va a simplificar muchísimo el análisis.
Cuando la sustitución directa te da formas como 0/0 o ∞/∞, has encontrado una indeterminación. Estas formas no tienen un valor definido y requieren técnicas especiales.
Las formas indeterminadas más comunes incluyen 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞, y potencias como 1^∞, 0^0, ∞^0. Cada una significa que necesitas transformar la expresión antes de evaluar el límite.
La factorización es tu mejor arma para 0/0. Por ejemplo, en lim(x→1) /, factoriza el numerador /. Cancela y obtienes lim(x→1) = 2.
💡 Estrategia Siempre sustituye primero para detectar indeterminaciones. Si aparecen, entonces aplica las técnicas de transformación algebraica.
Dominar estas técnicas te convertirá en un experto resolviendo límites complejos que parecían imposibles.
Tienes varias herramientas poderosas factorización para expresiones algebraicas, racionalización para raíces, multiplicación por el conjugado para diferencias de raíces, y simplificación algebraica general.
Para casos más avanzados, puedes usar identidades trigonométricas, cambios de variable, o la regla de L'Hôpital si ya dominas derivadas. La clave está en elegir la técnica correcta según el tipo de indeterminación.
💡 Orden de ataque Intenta factorización primero, luego racionalización, después el conjugado. Estas tres resuelven la mayoría de casos que verás.
Convertirte en un detective de indeterminaciones te dará la confianza para enfrentar cualquier límite complejo.
El proceso es siempre el mismo sustituye primero para detectar si hay indeterminación. Si aparecen las formas 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0·∞, o potencias como 1^∞, 0^0, ∞^0, entonces necesitas aplicar una técnica especial.
La mayoría de ejercicios de preparatoria se resuelven con factorización, racionalización y el conjugado. Domina estas tres técnicas y estarás preparado para prácticamente cualquier examen.
💡 Consejo final La práctica hace al maestro. Mientras más límites resuelvas, más rápido identificarás qué técnica usar en cada situación.
La racionalización es tu técnica secreta cuando aparecen raíces que causan indeterminaciones del tipo 0/0.
Para lim(x→0) /x, la sustitución directa da 0/0. Multiplica por el conjugado /x · /. El numerador se convierte en -1 = x, y puedes cancelar la x.
Queda 1/, y ahora sí puedes sustituir x=0 para obtener 1/(√1+1) = 1/2. ¡La indeterminación desapareció completamente!
💡 Truco mental El conjugado de √a-b es √a+b, y su producto siempre elimina las raíces = a-b.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
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Para lim(x→1) , sustituyes x=1: (1)²-(1)+4 = 1-1+4 = 6. Para lim(x→0) /, sustituyes x=0: (2(0)+5)/(0+1) = 5/1 = 5.
La clave está en verificar primero que la sustitución directa te dé un resultado real y definido. Si el denominador se hace cero o aparecen formas extrañas, necesitarás técnicas más sofisticadas.
💡 Recuerda: Los límites finito-finito son tu punto de partida. Siempre intenta la sustitución directa primero antes de complicarte la vida.
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Un límite es finito-finito cuando x se acerca a un número real y el resultado también es un número real. No aparece infinito ni formas raras como 0/0.
La técnica es súper fácil: solo sustituye el valor de x directamente en la función. Por ejemplo, si tienes lim(x→2) , simplemente calculas 3(2)+1 = 7. ¡Listo!
💡 Tip clave: Si al sustituir obtienes algo como 0/0, entonces NO es finito-finito y necesitarás otras técnicas más avanzadas.
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Como 1 ≠ 2, el límite general no existe en x=0. Esto es súper común en funciones que tienen "saltos" o discontinuidades.
💡 Estrategia: Para resolver límites laterales, usa valores muy cercanos al punto pero del lado correcto, o analiza la definición por tramos de la función.
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Estos límites son cruciales para funciones que "saltan" o cambian bruscamente en un punto. Son especialmente importantes cuando trabajas con funciones definidas por tramos o con valores absolutos.
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Los límites laterales son -1 y 1 respectivamente. Como son diferentes, el límite general en x=0 no existe. Esta es la respuesta correcta y completa.
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Las formas indeterminadas más comunes incluyen 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞, y potencias como 1^∞, 0^0, ∞^0. Cada una significa que necesitas transformar la expresión antes de evaluar el límite.
La factorización es tu mejor arma para 0/0. Por ejemplo, en lim(x→1) /, factoriza el numerador: /. Cancela y obtienes lim(x→1) = 2.
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La mayoría de ejercicios de preparatoria se resuelven con factorización, racionalización y el conjugado. Domina estas tres técnicas y estarás preparado para prácticamente cualquier examen.
💡 Consejo final: La práctica hace al maestro. Mientras más límites resuelvas, más rápido identificarás qué técnica usar en cada situación.
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Queda 1/, y ahora sí puedes sustituir x=0 para obtener 1/(√1+1) = 1/2. ¡La indeterminación desapareció completamente!
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Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Thomas R
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Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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Paul T
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David K
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Marco B
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Sarah L
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Paul T
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