Asignaturas
Cálculo diferencial
2 dic 2025
1,242
84 páginas
Paola Rios @paolarios_g6rp5
La derivada es uno de los conceptos más importantes del cálculo diferencial y tiene aplicaciones súper prácticas en... Mostrar más
La derivada y sus aplicaciones es el tema que vas a dominar en este bloque. Este concepto te dará herramientas poderosas para analizar cómo cambian las cosas en el mundo real.
Este bloque se enfoca en la derivada y sus aplicaciones, que es el tema central del cálculo diferencial. Vas a descubrir cómo este concepto matemático te ayuda a resolver problemas reales de velocidad, crecimiento y optimización.
Cuando observas gráficamente cómo el punto Q se acerca al punto P, puedes ver claramente el concepto de derivada. La pendiente entre estos puntos cambia hasta convertirse en la pendiente de la recta tangente.
El incremento de la función (Δy) dividido entre el incremento de la variable independiente (Δx) te da la razón de cambio promedio. Esta es la base para entender cómo funcionan las derivadas.
La representación visual te ayuda a comprender por qué necesitamos que Δx tienda a cero para obtener la pendiente exacta.
Tip visual Imagínate una montaña rusa - la derivada te dice qué tan empinada está en cada punto exacto.
La derivada nació para resolver cuatro problemas fundamentales velocidad, área bajo curvas, rectas tangentes y máximos y mínimos. Pierre de Fermat desarrolló un método genial para encontrar la pendiente de una recta tangente a una curva.
La idea es súper simple imagínate que tienes dos puntos P y Q en una curva. Si acercas Q cada vez más a P, la pendiente entre estos puntos se va aproximando a la pendiente de la recta tangente en P.
La fórmula básica es m = / = Δy/Δx
¡Dato curioso! Este método de "acercarse" a un punto es la base de todo el cálculo diferencial.
La expresión matemática completa del límite de Fermat te permite calcular pendientes exactas. Cuando Q se acerca infinitamente a P, la diferencia Δx se vuelve prácticamente cero.
Esta aproximación gradual es lo que hace que el cálculo diferencial sea tan poderoso. Puedes encontrar la razón de cambio instantánea en cualquier punto de una función.
La representación gráfica muestra claramente cómo la secante (línea entre P y Q) se convierte en tangente cuando los puntos coinciden.
Concepto clave El límite transforma lo aproximado en lo exacto.
Aquí viene la parte más importante cuando Δx tiende a cero, obtienes el límite de Fermat. La fórmula completa es
m = lim(Δx→0) /Δx
Esto significa que si x₂ = x₁ + Δx, entonces la pendiente se convierte en un límite cuando la diferencia entre los puntos se hace infinitamente pequeña.
El límite de Fermat es la base matemática rigurosa de todo el cálculo diferencial. Sin este concepto, no podrías calcular velocidades instantáneas ni optimizar funciones.
¡Importante! Este límite es lo que transforma una pendiente aproximada en una pendiente exacta.
La derivada de una función f(x) se define formalmente como
f'(x) = lim(h→0) /h
Esto se lee "efe prima de x" y representa la pendiente de la recta tangente en cualquier punto x de la curva. También puedes escribirlo usando Δx en lugar de h.
Geométricamente, la derivada te da la razón de cambio instantánea de una variable respecto a otra. Es como tomar una "fotografía" del cambio en un momento específico.
La definición final es clara la derivada es el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento de la variable independiente cuando este último tiende a cero.
Definición clave La derivada mide qué tan rápido cambia algo en un instante específico.
Imagínate que un objeto cae y su distancia está dada por f(x) = x². Para encontrar su velocidad instantánea en x = 2, calculas la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños.
Usando los puntos P₁(2, 4) y acercándote con P₂(2.01, 4.0401), P₃(2.001, 4.004001), etc., obtienes razones de cambio de 4.01, 4.001, 4.0001...
Observas que todas estas razones de cambio promedio se acercan a 4. Esto significa que la velocidad instantánea cuando x = 2 es exactamente 4.
Este ejemplo demuestra cómo el concepto matemático de límite se convierte en una herramienta práctica para resolver problemas reales de física y movimiento.
Aplicación real Así es como se calcula la velocidad exacta de un auto en cualquier momento específico.
El ejemplo de la velocidad instantánea muestra cómo usar la fórmula m = / con intervalos cada vez más pequeños.
Al calcular las razones entre P₁ y los otros puntos, obtienes 4.01 (de P₁ a P₂), 4.001 (de P₁ a P₃), y 4.0001 (de P₁ a P₄). Todos estos valores se aproximan a 4.
Esto confirma que cuando Δx tiende a cero, la velocidad se acerca a un valor específico. La velocidad instantánea en x = 2 es exactamente 4.
Este método te permite encontrar la velocidad exacta en cualquier momento, no solo un promedio entre dos momentos.
Conclusión práctica La derivada te da información precisa sobre lo que está pasando en un instante específico.
Supón que una población nueva empieza con 500 habitantes y crece según g(t) = -25t² + 100t + 500. Puedes calcular la tasa promedio de crecimiento entre diferentes años.
Usando la tabla de valores (año 0 500, año 1 575, año 2 600, año 3 575, año 4 500), calculas las tasas de año 0 a 2 es 50 habitantes/año, de año 0 a 3 es 25 habitantes/año.
Entre los años 2 y 4, la tasa es -50 habitantes/año (¡la población decrece!). Estas son tasas promedio de crecimiento que te dan una idea general.
Para obtener la tasa de crecimiento instantánea exacta en cualquier momento específico, necesitas aplicar el límite a esta función cuadrática.
Aplicación real Así los demógrafos predicen cambios poblacionales y planifican recursos urbanos.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
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Paola Rios
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La derivada es uno de los conceptos más importantes del cálculo diferencial y tiene aplicaciones súper prácticas en tu vida diaria. Surgió en la Antigua Grecia para resolver problemas como calcular velocidades, encontrar rectas tangentes y determinar máximos y mínimos.
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El incremento de la función (Δy) dividido entre el incremento de la variable independiente (Δx) te da la razón de cambio promedio. Esta es la base para entender cómo funcionan las derivadas.
La representación visual te ayuda a comprender por qué necesitamos que Δx tienda a cero para obtener la pendiente exacta.
Tip visual: Imagínate una montaña rusa - la derivada te dice qué tan empinada está en cada punto exacto.
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La derivada nació para resolver cuatro problemas fundamentales: velocidad, área bajo curvas, rectas tangentes y máximos y mínimos. Pierre de Fermat desarrolló un método genial para encontrar la pendiente de una recta tangente a una curva.
La idea es súper simple: imagínate que tienes dos puntos P y Q en una curva. Si acercas Q cada vez más a P, la pendiente entre estos puntos se va aproximando a la pendiente de la recta tangente en P.
La fórmula básica es: m = / = Δy/Δx
¡Dato curioso! Este método de "acercarse" a un punto es la base de todo el cálculo diferencial.
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Esta aproximación gradual es lo que hace que el cálculo diferencial sea tan poderoso. Puedes encontrar la razón de cambio instantánea en cualquier punto de una función.
La representación gráfica muestra claramente cómo la secante (línea entre P y Q) se convierte en tangente cuando los puntos coinciden.
Concepto clave: El límite transforma lo aproximado en lo exacto.
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Aquí viene la parte más importante: cuando Δx tiende a cero, obtienes el límite de Fermat. La fórmula completa es:
m = lim(Δx→0) /Δx
Esto significa que si x₂ = x₁ + Δx, entonces la pendiente se convierte en un límite cuando la diferencia entre los puntos se hace infinitamente pequeña.
El límite de Fermat es la base matemática rigurosa de todo el cálculo diferencial. Sin este concepto, no podrías calcular velocidades instantáneas ni optimizar funciones.
¡Importante! Este límite es lo que transforma una pendiente aproximada en una pendiente exacta.
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La derivada de una función f(x) se define formalmente como:
f'(x) = lim(h→0) /h
Esto se lee "efe prima de x" y representa la pendiente de la recta tangente en cualquier punto x de la curva. También puedes escribirlo usando Δx en lugar de h.
Geométricamente, la derivada te da la razón de cambio instantánea de una variable respecto a otra. Es como tomar una "fotografía" del cambio en un momento específico.
La definición final es clara: la derivada es el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento de la variable independiente cuando este último tiende a cero.
Definición clave: La derivada mide qué tan rápido cambia algo en un instante específico.
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Usando los puntos P₁(2, 4) y acercándote con P₂(2.01, 4.0401), P₃(2.001, 4.004001), etc., obtienes razones de cambio de 4.01, 4.001, 4.0001...
Observas que todas estas razones de cambio promedio se acercan a 4. Esto significa que la velocidad instantánea cuando x = 2 es exactamente 4.
Este ejemplo demuestra cómo el concepto matemático de límite se convierte en una herramienta práctica para resolver problemas reales de física y movimiento.
Aplicación real: Así es como se calcula la velocidad exacta de un auto en cualquier momento específico.
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El ejemplo de la velocidad instantánea muestra cómo usar la fórmula m = / con intervalos cada vez más pequeños.
Al calcular las razones entre P₁ y los otros puntos, obtienes: 4.01 (de P₁ a P₂), 4.001 (de P₁ a P₃), y 4.0001 (de P₁ a P₄). Todos estos valores se aproximan a 4.
Esto confirma que cuando Δx tiende a cero, la velocidad se acerca a un valor específico. La velocidad instantánea en x = 2 es exactamente 4.
Este método te permite encontrar la velocidad exacta en cualquier momento, no solo un promedio entre dos momentos.
Conclusión práctica: La derivada te da información precisa sobre lo que está pasando en un instante específico.
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Usando la tabla de valores (año 0: 500, año 1: 575, año 2: 600, año 3: 575, año 4: 500), calculas las tasas: de año 0 a 2 es 50 habitantes/año, de año 0 a 3 es 25 habitantes/año.
Entre los años 2 y 4, la tasa es -50 habitantes/año (¡la población decrece!). Estas son tasas promedio de crecimiento que te dan una idea general.
Para obtener la tasa de crecimiento instantánea exacta en cualquier momento específico, necesitas aplicar el límite a esta función cuadrática.
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David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
