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Actualizado May 23, 2026
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Osnovne Trigonometrijske Funkcije - Definicije i Svojstva
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Definicije trigonometrijskih funkcija
Zaboravi ono što znaš o trigonometriji samo u pravouglom trouglu - vreme je da proširiš vidike! Trigonometrijski krug je tvoj novi najbolji prijatelj za razumevanje funkcija na bilo kom uglu.
Trigonometrijski krug je jednostavno krug sa centrom u koordinatnom početku O(0,0) i poluprečnikom r = 1. Njegova jednačina je x² + y² = 1, što ćeš koristiti jako često.
Kada merimo orijentisani ugao, pozitivan smer je suprotno od kazaljke na satu, a negativan u smeru kazaljke. Svaki ugao α ima svoju jedinstvenu tačku M(x,y) na krugu.
💡 Zapamti: Koordinate tačke M su uvek između -1 i 1, što znači da su sinus i kosinus uvek u tom opsegu!
Nove definicije funkcija
Evo kako funkcioniše: za bilo koji ugao α i odgovarajuću tačku M(x,y) na trigonometrijskom krugu, definicije su neverovatno jednostavne!
Sinus ugla α je y-koordinata tačke M: sin α = y. Kosinus ugla α je x-koordinata tačke M: cos α = x. Tako jednostavno!
Tangens je odnos y i x koordinata: tan α = y/x . Kotangens je obrnut odnos: cot α = x/y .
Pošto se tačka M nalazi na krugu poluprečnika 1, važno je da zapamtiš: -1 ≤ sin α ≤ 1 i -1 ≤ cos α ≤ 1.
💡 Trik za pamćenje: Kosinus je "horizontalan" , sinus je "vertikalan" !
Znakovi funkcija po kvadrantima
Možda ti se čini komplikovano, ali znak trigonometrijskih funkcija zavisi samo od toga u kom kvadrantu se nalazi ugao - i to možeš lako da naučiš!
U I kvadrantu su sve funkcije pozitivne. U II kvadrantu samo sinus pozitivan (jer je y > 0, a x < 0). U III kvadrantu tangens i kotangens pozitivni (jer su i x i y negativni). U IV kvadrantu samo kosinus pozitivan.
Osnovni trigonometrijski identitet nastaje direktno iz jednačine kruga: cos² α + sin² α = 1. Ova formula je temelj cele trigonometrije!
Iz osnovnog identiteta možeš izvesti još dve korisne formule: 1 + tan² α = 1/cos² α i cot² α + 1 = 1/sin² α.
💡 Za test: Nauči napamet da je u I sve pozitivno, u II samo sin, u III tan i cot, u IV samo cos!
Praktični primeri - deo 1
Evo kako rešavaš konkretne zadatke korak po korak! Kad ti je data tačka M(-5/13, 12/13), odmah čitaš koordinate: x = -5/13, y = 12/13.
Po definicijama: sin α = y = 12/13, cos α = x = -5/13. Tangens je tan α = y/x = -12/5, a kotangens cot α = x/y = -5/12.
Proverava uvek u kom kvadrantu se nalazi ugao! Pošto je x < 0 a y > 0, ugao je u II kvadrantu gde je samo sinus pozitivan - što se poklapa sa našim rezultatima.
Drugi tip zadatka: ako znaš da je cos α = -1/2 i ugao u III kvadrantu, možeš naći ostale funkcije. U III kvadrantu su x i y negativni, pa je i sin α < 0.
💡 Najčešća greška: Zaboravljanje znaka pri korenovanju - uvek prvo odredi kvadrant!
Praktični primeri - deo 2
Nastavljamo sa prethodnim primerom: iz cos α = -1/2 i osnovnog identiteta sin² α + cos² α = 1, dobijamo sin² α = 3/4.
Koren iz 3/4 je ±√3/2, ali pošto je ugao u III kvadrantu, biraš negativan znak: sin α = -√3/2. Jednostavno!
Za tangens: tan α = sin α/cos α = √3 (pozitivan u III kvadrantu). Kotangens je cot α = 1/tan α = √3/3 (nakon racionalizacije).
Važne napomene: Tangens nije definisan kada je cos α = 0 , a kotangens kada je sin α = 0 (uglovi 0, π, 2π...).
Osnovna veza sin² α + cos² α = 1 je najvažnija formula u trigonometriji - bez nje nema uspeha na testovima!
💡 Brz pregled: sin α = y, cos α = x, osnovna veza, znakovi po kvadrantima - to su tvoje glavne alate!
Kratak pregled za test
Sve što treba da znaš za savršen test uklopljeno je u nekoliko ključnih stavki koje možeš brzo da prođeš!
Osnove: Trigonometrijski krug ima r = 1, centar O(0,0), tačka M(x,y). Definicije su sin α = y, cos α = x, tan α = y/x, cot α = x/y.
Glavna formula: sin² α + cos² α = 1 - ova formula rešava pola zadataka! Opsezi: -1 ≤ sin α ≤ 1 i -1 ≤ cos α ≤ 1.
Znakovi po kvadrantima - ovo je zlato vredno: I kvadrant , II kvadrant , III kvadrant , IV kvadrant .
Sa ovim osnovama možeš rešiti bilo koji zadatak iz trigonometrije - samo pazi na znakove i uvek koristi osnovnu vezu!
💡 Poslednji savet: Vežbaj određivanje kvadranta i čitanje znakova - to je pola posla u trigonometriji!
Pensamos que nunca lo preguntarías...
¿Qué es Knowunity AI companion?
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¿Knowunity es totalmente gratuito?
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
LOS QUIZZES Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y AMO Knowunity AI. TAMBIÉN ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS INTELIGENTE!! ME AYUDÓ CON MIS PROBLEMAS DE RÍMEL TAMBIÉN!! Y CON MIS MATERIAS REALES OBVIO! 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
LOS QUIZZES Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y AMO Knowunity AI. TAMBIÉN ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS INTELIGENTE!! ME AYUDÓ CON MIS PROBLEMAS DE RÍMEL TAMBIÉN!! Y CON MIS MATERIAS REALES OBVIO! 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Osnovne Trigonometrijske Funkcije - Definicije i Svojstva
Trigonometrijske funkcije nisu samo za oštre uglove u pravouglom trouglu - možeš ih proširiti na bilo koji ugao koristeći trigonometrijski krug! Ovo ti otvara vrata za razumevanje periodičnosti funkcija i rešavanje mnogo složenijih zadataka.
Definicije trigonometrijskih funkcija
Zaboravi ono što znaš o trigonometriji samo u pravouglom trouglu - vreme je da proširiš vidike! Trigonometrijski krug je tvoj novi najbolji prijatelj za razumevanje funkcija na bilo kom uglu.
Trigonometrijski krug je jednostavno krug sa centrom u koordinatnom početku O(0,0) i poluprečnikom r = 1. Njegova jednačina je x² + y² = 1, što ćeš koristiti jako često.
Kada merimo orijentisani ugao, pozitivan smer je suprotno od kazaljke na satu, a negativan u smeru kazaljke. Svaki ugao α ima svoju jedinstvenu tačku M(x,y) na krugu.
💡 Zapamti: Koordinate tačke M su uvek između -1 i 1, što znači da su sinus i kosinus uvek u tom opsegu!
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Nove definicije funkcija
Evo kako funkcioniše: za bilo koji ugao α i odgovarajuću tačku M(x,y) na trigonometrijskom krugu, definicije su neverovatno jednostavne!
Sinus ugla α je y-koordinata tačke M: sin α = y. Kosinus ugla α je x-koordinata tačke M: cos α = x. Tako jednostavno!
Tangens je odnos y i x koordinata: tan α = y/x . Kotangens je obrnut odnos: cot α = x/y .
Pošto se tačka M nalazi na krugu poluprečnika 1, važno je da zapamtiš: -1 ≤ sin α ≤ 1 i -1 ≤ cos α ≤ 1.
💡 Trik za pamćenje: Kosinus je "horizontalan" , sinus je "vertikalan" !
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Znakovi funkcija po kvadrantima
Možda ti se čini komplikovano, ali znak trigonometrijskih funkcija zavisi samo od toga u kom kvadrantu se nalazi ugao - i to možeš lako da naučiš!
U I kvadrantu su sve funkcije pozitivne. U II kvadrantu samo sinus pozitivan (jer je y > 0, a x < 0). U III kvadrantu tangens i kotangens pozitivni (jer su i x i y negativni). U IV kvadrantu samo kosinus pozitivan.
Osnovni trigonometrijski identitet nastaje direktno iz jednačine kruga: cos² α + sin² α = 1. Ova formula je temelj cele trigonometrije!
Iz osnovnog identiteta možeš izvesti još dve korisne formule: 1 + tan² α = 1/cos² α i cot² α + 1 = 1/sin² α.
💡 Za test: Nauči napamet da je u I sve pozitivno, u II samo sin, u III tan i cot, u IV samo cos!
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Praktični primeri - deo 1
Evo kako rešavaš konkretne zadatke korak po korak! Kad ti je data tačka M(-5/13, 12/13), odmah čitaš koordinate: x = -5/13, y = 12/13.
Po definicijama: sin α = y = 12/13, cos α = x = -5/13. Tangens je tan α = y/x = -12/5, a kotangens cot α = x/y = -5/12.
Proverava uvek u kom kvadrantu se nalazi ugao! Pošto je x < 0 a y > 0, ugao je u II kvadrantu gde je samo sinus pozitivan - što se poklapa sa našim rezultatima.
Drugi tip zadatka: ako znaš da je cos α = -1/2 i ugao u III kvadrantu, možeš naći ostale funkcije. U III kvadrantu su x i y negativni, pa je i sin α < 0.
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Praktični primeri - deo 2
Nastavljamo sa prethodnim primerom: iz cos α = -1/2 i osnovnog identiteta sin² α + cos² α = 1, dobijamo sin² α = 3/4.
Koren iz 3/4 je ±√3/2, ali pošto je ugao u III kvadrantu, biraš negativan znak: sin α = -√3/2. Jednostavno!
Za tangens: tan α = sin α/cos α = √3 (pozitivan u III kvadrantu). Kotangens je cot α = 1/tan α = √3/3 (nakon racionalizacije).
Važne napomene: Tangens nije definisan kada je cos α = 0 , a kotangens kada je sin α = 0 (uglovi 0, π, 2π...).
Osnovna veza sin² α + cos² α = 1 je najvažnija formula u trigonometriji - bez nje nema uspeha na testovima!
💡 Brz pregled: sin α = y, cos α = x, osnovna veza, znakovi po kvadrantima - to su tvoje glavne alate!
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Kratak pregled za test
Sve što treba da znaš za savršen test uklopljeno je u nekoliko ključnih stavki koje možeš brzo da prođeš!
Osnove: Trigonometrijski krug ima r = 1, centar O(0,0), tačka M(x,y). Definicije su sin α = y, cos α = x, tan α = y/x, cot α = x/y.
Glavna formula: sin² α + cos² α = 1 - ova formula rešava pola zadataka! Opsezi: -1 ≤ sin α ≤ 1 i -1 ≤ cos α ≤ 1.
Znakovi po kvadrantima - ovo je zlato vredno: I kvadrant , II kvadrant , III kvadrant , IV kvadrant .
Sa ovim osnovama možeš rešiti bilo koji zadatak iz trigonometrije - samo pazi na znakove i uvek koristi osnovnu vezu!
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¿Qué es Knowunity AI companion?
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¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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Pablo
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Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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