Asignaturas
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Daniela Ramirez
23/11/2025
Álgebra
Apuntes de la clase de hoy
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23 nov 2025
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Daniela Ramirez
@danielara_7iixj
Estos apuntes cubren tres temas fundamentales de matemáticas: ecuaciones cuadráticas,... Mostrar más
¿Sabías que las ecuaciones cuadráticas están en todas partes, desde el movimiento de un balón hasta el diseño de puentes? Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0, donde la variable está elevada al cuadrado como máximo.
Lo más importante es entender que estas ecuaciones pueden tener una, dos o ninguna solución. Cuando las graficas, forman una parábola, y el número de veces que cruza el eje x te dice cuántas soluciones tiene.
Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en completas e incompletas . En el término ax², "a" nunca puede ser cero porque entonces ya no sería cuadrática.
💡 Tip clave: El grado de la ecuación lo determina el exponente más grande de la variable. En las cuadráticas, siempre es 2.
Las matrices son súper útiles en el mundo real, especialmente en finanzas y negocios para manejar grandes cantidades de información. Una matriz es simplemente una tabla ordenada de números en filas y columnas.
La dimensión de una matriz se escribe como n×m (primero filas, después columnas). Por ejemplo, si tienes una matriz de 3×2, significa 3 filas y 2 columnas. Cuando una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se llama matriz cuadrada.
Dos conceptos importantes: las matrices son iguales solo si tienen la misma dimensión y todos sus elementos coinciden exactamente. La matriz transpuesta se obtiene intercambiando filas por columnas.
💡 Dato útil: Los vectores son matrices especiales de una sola fila o una sola columna, perfectos para representar datos en secuencia.
La trigonometría conecta los ángulos con las medidas de los lados de un triángulo, algo que usarás constantemente en física y ingeniería. Todo parte del triángulo rectángulo: un triángulo con un ángulo de 90°.
Las tres funciones básicas son seno, coseno y tangente. El seno es cateto opuesto sobre hipotenusa, el coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa, y la tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente.
Memoriza estas relaciones porque son la base de toda la trigonometría. La hipotenusa siempre es el lado más largo (opuesto al ángulo recto), y los catetos son los otros dos lados.
💡 Truco de memoria: SOH-CAH-TOA .
Las sucesiones cuadráticas son secuencias de números donde la diferencia entre términos consecutivos no es constante, pero sí sigue un patrón. A diferencia de las sucesiones lineales, aquí necesitas encontrar la segunda diferencia para ver el patrón.
Para encontrar términos usando la regla general , simplemente sustituye n por la posición del término que buscas. Si quieres el primer término, n = 1; para el segundo, n = 2, y así sucesivamente.
Para encontrar la regla general cuando tienes los términos, usa la fórmula an² + bn + c. Calcula las primeras y segundas diferencias, donde la segunda diferencia dividida entre 2 te da el valor de "a".
💡 Método infalible: Siempre verifica tu regla general sustituyendo los primeros términos para confirmar que obtienes los números correctos de la sucesión.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuario de Android
Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
usuario de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Daniela Ramirez
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Estos apuntes cubren tres temas fundamentales de matemáticas: ecuaciones cuadráticas, álgebra matricial y sucesiones cuadráticas, además de una introducción a funciones trigonométricas. Son conceptos que necesitarás dominar para tener éxito en matemáticas avanzadas.
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¿Sabías que las ecuaciones cuadráticas están en todas partes, desde el movimiento de un balón hasta el diseño de puentes? Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0, donde la variable está elevada al cuadrado como máximo.
Lo más importante es entender que estas ecuaciones pueden tener una, dos o ninguna solución. Cuando las graficas, forman una parábola, y el número de veces que cruza el eje x te dice cuántas soluciones tiene.
Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en completas e incompletas . En el término ax², "a" nunca puede ser cero porque entonces ya no sería cuadrática.
💡 Tip clave: El grado de la ecuación lo determina el exponente más grande de la variable. En las cuadráticas, siempre es 2.
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Las matrices son súper útiles en el mundo real, especialmente en finanzas y negocios para manejar grandes cantidades de información. Una matriz es simplemente una tabla ordenada de números en filas y columnas.
La dimensión de una matriz se escribe como n×m (primero filas, después columnas). Por ejemplo, si tienes una matriz de 3×2, significa 3 filas y 2 columnas. Cuando una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se llama matriz cuadrada.
Dos conceptos importantes: las matrices son iguales solo si tienen la misma dimensión y todos sus elementos coinciden exactamente. La matriz transpuesta se obtiene intercambiando filas por columnas.
💡 Dato útil: Los vectores son matrices especiales de una sola fila o una sola columna, perfectos para representar datos en secuencia.
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La trigonometría conecta los ángulos con las medidas de los lados de un triángulo, algo que usarás constantemente en física y ingeniería. Todo parte del triángulo rectángulo: un triángulo con un ángulo de 90°.
Las tres funciones básicas son seno, coseno y tangente. El seno es cateto opuesto sobre hipotenusa, el coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa, y la tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente.
Memoriza estas relaciones porque son la base de toda la trigonometría. La hipotenusa siempre es el lado más largo (opuesto al ángulo recto), y los catetos son los otros dos lados.
💡 Truco de memoria: SOH-CAH-TOA .
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Las sucesiones cuadráticas son secuencias de números donde la diferencia entre términos consecutivos no es constante, pero sí sigue un patrón. A diferencia de las sucesiones lineales, aquí necesitas encontrar la segunda diferencia para ver el patrón.
Para encontrar términos usando la regla general , simplemente sustituye n por la posición del término que buscas. Si quieres el primer término, n = 1; para el segundo, n = 2, y así sucesivamente.
Para encontrar la regla general cuando tienes los términos, usa la fórmula an² + bn + c. Calcula las primeras y segundas diferencias, donde la segunda diferencia dividida entre 2 te da el valor de "a".
💡 Método infalible: Siempre verifica tu regla general sustituyendo los primeros términos para confirmar que obtienes los números correctos de la sucesión.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Convierte estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Tarjetas de Estudio Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuario de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener dificultades para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser muy difícil reunir toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis notas y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Siempre estaba estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a manejar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre era difícil encontrar los materiales correctos para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros – realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis calificaciones.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros – me siento mucho más seguro cuando me preparo para los exámenes.
Paul T
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