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Cálculo integral65Actualizado 23 sep 20262 páginas

Cómo Resolver Integrales con Cambio de Variable - Ejercicios Resueltos y Explicaciones

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¿Te da miedo resolver integrales con radicales? ¡No te preocupes! La sustitución trigonométrica es tu herramienta secreta para convertir esas expresiones complicadas en algo súper manejable.
Integrales por cambio de variable Raíces (sustitución) – Ejercicios resueltos – página 1

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Integrales con Radicales: Domina la Sustitución

Cuando veas una integral con raíz cuadrada, tu primer instinto debe ser buscar una sustitución que simplifique todo. El truco está en identificar qué parte de la expresión puede convertirse en una nueva variable.

Para ∫2x3x2−5dx\int 2x \sqrt{3x^2 - 5} dx, observa que la derivada de 3x2−53x^2 - 5 es 6x6x, casi lo que tienes arriba. Haces u=3x2−5u = 3x^2 - 5, entonces du=6xdxdu = 6x dx, y necesitas ajustar el coeficiente.

El resultado final es 23(3x2−5)3+C\frac{2}{3}\sqrt{(3x^2 - 5)^3} + C. ¿Ves cómo la sustitución convirtió algo complejo en una integral básica de potencias?

💡 Tip clave: Siempre busca si la derivada del interior del radical aparece multiplicando afuera.

Integrales por cambio de variable Raíces (sustitución) – Ejercicios resueltos – página 2

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Radicales con Exponentes: El Siguiente Nivel

Cuando el radical tiene exponentes más altos, como en ∫(6x−5)(3x2−5x)2dx\int(6x-5)\sqrt{(3x^2-5x)^2}dx, el proceso es el mismo pero más poderoso. Aquí tienes (3x2−5x)2(3x^2-5x)^2 bajo la raíz, que se simplifica a (3x2−5x)3/2(3x^2-5x)^{3/2}.

La clave es reconocer que (6x−5)(6x-5) es exactamente la derivada de 3x2−5x3x^2-5x. Esto hace que la sustitución u=3x2−5xu = 3x^2-5x funcione perfectamente, con du=(6x−5)dxdu = (6x-5)dx.

El resultado es 25(3x2−5x)5+C\frac{2}{5}\sqrt{(3x^2-5x)^5} + C. Nota cómo el exponente final siempre aumenta en uno y se divide por el nuevo exponente.

💡 Recuerda: Cuando veas la derivada exacta multiplicando, la integral se resuelve casi automáticamente.

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